مساحة القبة الكروية: هل تكفي مساحة قاعدتها؟

مساحة القبة الكروية تختلف عن مساحة قرص قاعدتها. نقارن قبتين لهما القاعدة نفسها وارتفاعان مختلفان، في مثالين مؤلفين. [1][2]

الخلاصة السريعة

لا؛ مساحة القاعدة وحدها لا تحدد مساحة السطح المنحني، ويؤثر ارتفاع القبة في النتيجة. [1][2]

• نفترض قبة كروية مثالية لا تتجاوز نصف كرة: R>0 و0<h≤R. نصف قطر الكرة R، وارتفاع القبة العمودي h، ونصف قطر قاعدتها a؛ ليست ثلاثة أسماء لطول واحد. [1]
• في المقطع المحوري: a²+(R−h)²=R²، ومنه a²=2Rh−h². عند R=10cm وh=2cm نحصل على a=6cm؛ cm تعني سنتيمترًا. [1]
• مساحة السطح المنحني S=2πRh=π(a²+h²). في القبة الأولى S=40πcm²، بينما مساحة قرص القاعدة B=πa²=36πcm². الوحدة مربعة، وليست وحدة حجم. [2]
• الفرق S−B=πh²؛ في المثال 4πcm². استعمال مساحة القرص بدل السطح المنحني ينقص النتيجة بنسبة (40−36)/40=10% من المساحة الصحيحة؛ المقام هنا S. [2]
• قبة ثانية لها a=6cm وh=6cm، فتكون نصف كرة R=6cm. مساحة قاعدتها أيضًا 36πcm²، لكن سطحها المنحني 72πcm²؛ تساوي القاعدتين لا يعني تساوي السطحين. [1]
• إذا طلبت مساحة الجسم المغلق، أضف القرص مرة واحدة: S+B. النتيجة 76πcm² للقبة الأولى و108πcm² للثانية. سطح القبة وحده يستبعد القرص؛ نهمل السماكة وخسائر المواد. [1]

المراجع

1. MathWorld: القبة الكروية
2. OpenStax: مساحة سطح الدوران

المقاطع الدائرية في الكرة

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.