معامل تمدد الحديد: قيمته وحساب تغير طول القضيب

الخلاصة السريعة

قرب 20°م، معامل الحديد الخطي نحو 12 × 10⁻⁶ K⁻¹؛ حدد طول البداية وتغير الحرارة لحساب الاستطالة. ^[1][2]

• في تقريب المعامل الثابت ΔL = αL₀ΔT؛ α يتبع المادة والنطاق الحراري، بينما طول القطعة يؤثر في ΔL لا في تعريف المعامل. ^[2]
• فرق درجة الحرارة له القيمة العددية نفسها بالكلفن والدرجة المئوية؛ لذلك وحدة α قد تكتب K⁻¹ أو °C⁻¹. ^[2]
• لقضيبنا الحر متجانس الحرارة طوله 2 م وارتفاع الحرارة من 20 إلى 70°م، وبافتراض α ثابتًا: الاستطالة 1.2 مم والطول النهائي 2.0012 م.
• تحت الفرض نفسه، طول 4 م يعطي 2.4 مم؛ والتبريد من 20 إلى 0°م لقضيب 2 م يعطي انكماشًا 0.48 مم.
• الجدول المرجعي يفصل الحديد 12 والفولاذ 13 بوحدة 10⁻⁶ لكل درجة مئوية عند 20°م؛ لا نعامل كل سبيكة كأنها الحديد نفسه. ^[1]

قراءة قيمة المعامل ووحدته

فرق درجة الحرارة له القيمة العددية نفسها بالكلفن والدرجة المئوية؛ لذلك وحدة α قد تكتب K⁻¹ أو °C⁻¹. ^[2]

لتوضيح التحويل، 12 × 10⁻⁶ = 0.000012؛ ولطول 2 م يعطي الضرب 2 × 0.000012 = 0.000024 m/K. تبقى خطوة التعويض بفرق الحرارة كما في المثال الآتي.

مثال ارتفاع الحرارة لقضيب حر

في تقريب المعامل الثابت ΔL = αL₀ΔT؛ α يتبع المادة والنطاق الحراري، بينما طول القطعة يؤثر في ΔL لا في تعريف المعامل. ^[2]

نختار L₀ = 2 m ودرجة بداية 20°م ونهاية 70°م. إذن ΔT = 70 − 20 = 50 K، ونفترض هذا المعامل ثابتًا على النطاق لأجل الحساب؛ ليست قيمة الجدول قياسًا جديدًا لكل درجة فيه.

بالتعويض ΔL = 12 × 10⁻⁶ × 2 × 50 = 0.0012 m = 1.2 mm، ثم L = L₀ + ΔL = 2.0012 m.

من السهل الخلط بين 0.0012 م و 0.0012 مم. التحويل يضرب القيمة بالمتر في 1000؛ لذلك نسجل الوحدة قبل جمع الطول الأصلي والزيادة.

ماذا يحدث إذا زاد الطول أو انخفضت الحرارة؟

نكرر الحساب لطول 4 م مع α وΔT نفسيهما: 12 × 10⁻⁶ × 4 × 50 = 0.0024 m = 2.4 mm. تضاعفت الاستطالة لأننا ضاعفنا طول البداية، لا لأن المعامل تضاعف.

ولقضيب 2 م نختار تبريدًا من 20 إلى 0°م: ΔT = −20 K، و ΔL = 12 × 10⁻⁶ × 2 × (−20) = −0.00048 m. الإشارة السالبة تعطي انكماشًا 0.48 مم وطولًا 1.99952 م.

لماذا لا نعمم الرقم على كل قطعة معدنية؟

المعامل قد يتغير مع درجة الحرارة، ولذلك نحدد المادة والنطاق عند استعمال تقريب ثابت. الجدول المذكور يعطي للحديد 12 وللفولاذ 13 قرب 20°م، بوحدة 10⁻⁶ °C⁻¹. ^[1][2]

الحساب هنا لقضيب يسمح له بتغير الطول بحرية وحرارته متجانسة؛ تثبيته ميكانيكيًا أو تفاوت حرارة أجزائه يحتاج نموذجًا أوسع من هذا المثال. ^[2]

إذا وصلتك مسألة بمعامل محدد لسبيكة ومدى حراري معين، تستعمل المعطيات المحددة فيها. اسم «حديد» على نحو عام لا يغني عن تعريف المادة والفرض المستخدم في الحساب.