مفهوم معامل ارتباط سبيرمان: الرتب والتعادل ومثال محسوب

الخلاصة السريعة

معامل ارتباط سبيرمان يلخص اتجاه العلاقة الرتيبة بين متغيرين، بالاعتماد على رتب القيم. نحسب بيرسون على الرتب، مع إعطاء القيم المتساوية متوسط مواقعها. ^[1][2]

• رتب كل متغير منفصلًا، واحفظ اقتران الصفوف. عند التعادل استعمل متوسط المواقع. ^[2]
• في المثال الأول رتبتا الأزواج R = 1,2,3,4,5 و S = 1,3,2,5,4؛ نحصل على rₛ = 0.8.
• في المثال المتعادل تصبح أول رتبتين 1.5؛ الناتج الصحيح 7/√95 ≈ 0.718185، وليس 0.725 من الاختصار غير المصحح.
• يتراوح المعامل المعرف بين −1 و 1؛ الثبات الكامل لأحد المدخلين يجعل المعامل غير معرف. ^[1]
• الارتباط لا يثبت السببية. حساب المعامل وحده لا يقدم اختبارًا لدلالة النتيجة. ^[4]

اقرأ الأزواج ثم رتب كل عمود

الموجب يصف اتجاهًا رتيبًا صاعدًا، والسالب هابطًا؛ لا يشترط اتجاهًا خطيًا. ^[1] لذلك نفرق بين ترتيب القيم وحجم الفروق بينها.

نحول كل عمود إلى رتب ثم نحسب ارتباط بيرسون لهما. ^[2][3] لا ننقل صفوف أحد المتغيرين وحده؛ الصف يحتفظ بالقيمتين للمشاهدة نفسها.

اختر ترتيبًا تصاعديًا للعمودين في العمل الآتي. اكتب معرفًا لكل صف قبل الفرز؛ بعد تحديد الرتب، أعدها إلى الصفوف الأصلية. هذه طريقة تنظيم تمنع تغيير الأزواج أثناء الحساب.

مثال أصلي بلا تعادل ثم فحصه

نختار X = 10,30,50,70,90 و Y = 2,8,5,15,11. رتب X هي R = 1,2,3,4,5، ورتب Y بالصفوف نفسها S = 1,3,2,5,4. جميع الأعداد تعليمية، لا قياسات لمجموعة أشخاص.

المتوسط لكل قائمة رتب هو 3. نحسب S_RR = 4+1+0+1+4 = 10، و S_SS = 4+0+1+4+1 = 10، و S_RS = 4+0+0+2+2 = 8؛ إذن rₛ = 8/√100 = 0.8.

عندما تكون رتب العمودين 1 إلى n بلا تعادل، تبسيط صيغة بيرسون يعطي rₛ = 1 − 6Σdᵢ²/[n(n²−1)]، حيث dᵢ فرق رتبتي الصف. ^[3] لا ننقل هذا الاختصار كما هو إلى رتب متعادلة.

في مثالنا فروق الرتب 0,−1,1,−1,1، ومجموع مربعاتها 4. الاختصار يعطي 1−24/120 = 0.8، فيطابق الحساب المباشر. الهوية Σd² = S_RR + S_SS − 2S_RS تعطي هنا 4 = 10+10−16.

مثال التعادل وحدود النتيجة

نختار بيانات مستقلة: X = 2,2,5,8,11 و Y = 1,4,3,8,6. القيمتان 2 تشغلان الموقعين 1 و 2؛ متوسطهما (1+2)/2 = 1.5. تصبح R = 1.5,1.5,3,4,5 و S = 1,3,2,5,4.

المتوسطان 3، ونحسب S_RR = 9.5 و S_SS = 10 و S_RS = 7. النتيجة من الحساب المباشر rₛ = 7/√95 ≈ 0.718185. عند التعادل نستخدم بيرسون على متوسط الرتب. ^[2][3]

مربعات فروق المثال مجموعها 5.5. إدخالها في الاختصار السابق يعطي 1−33/120 = 0.725؛ اختلف المقام الفعلي لأن مجموع مربعات R صار 9.5 بدل 10. هذه مقارنة محسوبة توضح سبب فحص شرط الاختصار.

إذا كان أحد العمودين ثابتًا بالكامل فالمعامل غير معرف. ^[1] أما قيمة معامل محسوبة فصف لاتجاه الرتب؛ لا تثبت السبب بمجردها. ^[4]

ميز حساب الرقم من اختبار فرضية. لم نحسب هنا قيمة احتمالية أو نجمع عينة تجريبية؛ فلا ننسب إلى المثال استنتاجًا عن مجتمع حقيقي.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: معامل الارتباط في الإحصاء: حساب بيرسون وتفسيره.