معامل معادلة الظل: متى يوجد حل واحد أو ثلاثة؟

عدد حلول معادلة ظل ضعف الزاوية يتغير مع المعامل. نصنف عائلة مؤلفة باستخدام متطابقة الظل ومجالها. [1][2]

الخلاصة السريعة

في الفترة المحددة: حل واحد إذا 0≤λ≤2، وثلاثة إذا λ<0 أو λ>2. [1]

• نحل tan(2θ)=λtanθ؛ λ عدد حقيقي منته، والدرجات في 0≤θ<180°. يشترط تعريف الظلين: نستبعد 45° و90° و135°، مع إدخال 0° وإخراج 180°. [2]
• ضع t=tanθ، فيلزم t≠±1. متطابقة الظل تعطي 2t/(1−t²)=λt. بضرب المقام غير الصفري: t(λt²+2−λ)=0؛ لا نقسم على t. [1]
• الفرع t=0 يعطي θ=0° دائمًا. عند λ=0 يبقى 2t=0. ولإضافة فرع غير صفري عندما λ≠0، نحتاج t²=1−2/λ>0. القيمة 1 مستحيلة لمعامل منته، فلا يساوي الجذران ±1. [1]
• الشرط موجب فقط إذا λ<0 أو λ>2، فيعطي قيمتي t متعاكستين، لكل منهما زاوية واحدة في نصف الدورة. عندما 0≤λ≤2 يبقى الصفر وحده؛ عند λ=2 لا نعد الفرع الصفري مرة ثانية. [1][2]
• مثلًا λ=3 يعطي t=0 أو t=±1/√3، والحلول 0° و30° و150°. عوّض في الأصل: عند 30° يتساوى الطرفان عند √3، وعند 150° عند −√3. [2]
• عند λ=0، لا نحول 0tanθ إلى صفر خارج مجال الظل. θ=90° مستبعدة رغم tan180°=0؛ ضرب مقدار غير معرف في صفر لا يعرّف التعبير الأصلي. [2]

المراجع

1. OpenStax: متطابقة ظل ضعف الزاوية
2. OpenStax: تعريف الظل ودوريته

قانون ضعف الزاوية وشروط الظل

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.