مفهوم الهندسة الرياضية: الأشكال والإحداثيات واختيار النموذج

الشكل والموقع والعلاقة: ثلاثة أسئلة هندسية

يمكن أن نسأل عن طول قطعة بين نقطتين، أو عن تساوي زاويتين، أو عن موقع شكل بالنسبة إلى آخر. وللأشكال المستوية أبعاد نقيس بها أطوالًا ومساحات، بينما ندرس في الفضاء أيضًا أجسامًا لها حجوم. لا يحدد اسم الفرع وحده المطلوب؛ نبدأ بالسؤال والمعطيات.

النقطة والمستقيم والمستوى عناصر نستخدمها لبناء النموذج. علامات القلم والخطوط في الصورة تمثيل لها، وليست حدود دقة المفهوم الرياضي. وقد نستعمل الرسم لاكتشاف فكرة، لكن إثباتها يحتاج شروطًا وحجة يمكن تتبعها.

إذا بدت قطعتان متساويتين في رسم غير مضبوط، فالمظهر وحده لا يضمن تساويهما. اسأل هل توجد قيمة أو علاقة تثبت ذلك، وهل كان الشكل مرسومًا بمقياس صحيح. هذه طريقة لقراءة المسألة قبل اختيار صيغة حسابية.

الهندسة التحليلية: وصف الشكل بالأعداد

في المستوى الديكارتي نحدد موقع نقطة بزوج مرتب (x,y). يشير الإحداثيان إلى موضعها بالنسبة إلى محورين متعامدين. وتتيح المعادلات تمثيل خطوط ومنحنيات، كما نستعمل صيغة المسافة لربط فرق الإحداثيات بطول بين نقطتين. ^[1]

خذ النقاط الأصلية A(−2,1) و B(4,1) و C(4,9). القطعة AB أفقية لأن إحداثي y متساوٍ، وطولها 4−(−2)=6. والقطعة BC رأسية لأن إحداثي x متساوٍ، وطولها 9−1=8.

لأن القطعتين متعامدتان، يكون طول AC: √(6²+8²)=√100=10. أما الانتقال من A إلى B ثم إلى C فطوله 6+8=14. فلا تخلط طول الطريق ذي القطعتين بالمسافة المباشرة بين طرفيه.

هذه صورة للجمع بين الجبر والرسم: الإحداثيات أعطتنا أطوالًا، والهندسة بينت لماذا ظهرت علاقة مثلث قائم. ليست النتيجة تقديرًا بصريًا لطول الخط المائل.

هل الهندسة الإقليدية مقتصرة على بعدين؟

يمكن أن ندرس الأشكال في مستوى إقليدي، كما يمكن أن ندرس المكعب والكرة والمسافات في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. إضافة محور z إلى الإحداثيات الديكارتية تعطينا ثلاثة إحداثيات للنقطة، ولا تحول كل مسألة تلقائيًا إلى هندسة غير إقليدية. ^[3]

لذلك نميز سؤالين: كم بعدًا نحتاج لوصف النقطة؟ وما القواعد التي تحدد المسافات والخطوط في النموذج؟ وجود جسم له حجم لا يكفي للإجابة عن السؤال الثاني.

والكرة نفسها توضح الفرق: قد ندرسها جسمًا داخل فضاء ثلاثي الأبعاد، أو نقصر الدراسة على المسارات فوق سطحها. الاختيار الثاني يغير الطرق المتاحة بين نقاط السطح، حتى لو رسمنا الكرة على ورقة. ^[2]

مثلث على كرة: لماذا يزيد مجموع الزوايا؟

في النموذج الكروي نستعمل أقواس دوائر عظمى بوصفها مسارات هندسية على السطح. مركز الدائرة العظمى هو مركز الكرة، وهذا يميزها من دوائر أصغر مرسومة على السطح. وللمثلث الكروي مجموع زوايا أكبر من 180 درجة في الحالة المعتادة المدروسة. ^[2][4]

ننشئ مثالًا جديدًا على كرة مثالية: نقطة عند القطب الشمالي، ونقطتان على خط الاستواء تفصل بين خطي طولهما 90 درجة. نصل القطب بكل نقطة بقوس زوال، ثم نصل النقطتين بقوس الاستواء الأقصر.

يلتقي كل قوس زوال بخط الاستواء بزاوية قائمة، ويلتقي القوسان عند القطب بزاوية 90 درجة أيضًا. يصبح مجموع زوايا مثلثنا 90+90+90=270°. لا يناقض ذلك نتيجة 180 درجة للمثلث المستوي؛ المثلثان المدروسان يقعان على سطحين مختلفين.

الزوايا في هذا الرسم تقاس بين اتجاهات مماسات الأقواس على السطح، ولا نقيسها بمنقلة على الصورة المسقطة للكرة. المنظور ثنائي الأبعاد قد يغير مظهر زاوية ثلاثية الأبعاد.

اختيار النموذج جزء من الحل

حدد فضاء المسألة ومعنى المسافة قبل نقل قانون من رسم إلى آخر. ثم افصل المعطيات من النتائج: ما نفترضه في النموذج، وما نستنتجه بالحساب أو البرهان. بذلك نفهم الهندسة كطريقة لدراسة العلاقات، إلى جانب معرفتنا بأسماء الأشكال.