مماسان داخليان لدائرتين: اجمع نصفي القطر واعكس الجهة

دائرة المجموع بدل دائرة الفرق

انقل نصف قطر الصغيرة إلى خارج الكبيرة على خط المركزين، ثم ارسم حول مركز الكبيرة دائرة بنصف قطر يساوي المجموع. دائرة قطرها خط المركزين تحدد التماس المساعد. [1]

نختار و=(0،0) ون=(13،0)، ونصفَي القطر 4 و1 سم. المسافة 13 أكبر من 4+1=5؛ فالدائرتان منفصلتان. دائرة المجموع معادلتها س²+ص²=25، ودائرة القطر مركزها (6.5،0) ونصف قطرها 6.5.

معادلة دائرة القطر تصبح س²+ص²−13س=0. نعوض س²+ص²=25 فنجد 13س=25، أي س=25/13. ثم ص²=25−625/169=3600/169؛ نختار ج=(25/13،60/13) في الأعلى.

لدينا و ج=(25/13،60/13) وج ن=(144/13،−60/13). ضربهما الداخلي (25×144−60×60)/169=0، وطول و ج=5. الخط ج ن مماس لدائرة المجموع؛ هذه خطوة مساعدة وليست النتيجة المطلوبة.

نصفا القطر متوازيان وفي جهتين متعاكستين

حدد على شعاع المركز نحو التماس المساعد نقطة الدائرة الأصلية الكبيرة. انسخ اتجاه نصف القطر إلى مركز الصغيرة، واختر الجهة المقابلة لنقطة التماس النهائية. [1][2]

في المثال ع=و ج÷5=(5/13،12/13)، ومربع طوله (25+144)/169=1. نقطة الكبيرة أ=4ع=(20/13،48/13). نريد للصغيرة نصف قطر −ع، فنختار ب=ن−ع=(164/13،−12/13)، لا ن+ع.

لنسخ الاتجاه بالفرجار في المثال، نأخذ ز=(−5،0) على امتداد المحور من و. نرسم دائرة مركزها ن بفتحة 5، ونعلّم ز′=(18،0) على يمين ن. ننقل الوتر ز ج بقوس مركزه ز′، ونختار التقاطع السفلي ت. الشعاع ن ت يحدد جهة نصف القطر المعاكسة، ويلتقي الصغيرة في ب. [1]

مربع ز ج=(90/13)²+(60/13)²=11700/169=900/13. نقطة التقاطع المختارة ت=(144/13،−60/13) تحقق ن ت=5، وز′ ت له مربع الطول نفسه. المتجه ن ت=−و ج، ولذلك نصف القطر ن ب=−ع. هذا نقل وتر، وليس قياس طول قوس.

الناتج يوازي المماس المساعد بعد إزاحة عمودية بمقدار نصف قطر الصغيرة. [2]

هنا أ−ج=−ع وب−ن=−ع؛ نقلنا طرفَي ج ن بالإزاحة نفسها. صار أ ب موازيًا للمساعد ومزاحًا عنه 1 سم. أما نصفا القطر و أ ون ب فهما 4ع و−ع؛ التوازي لا يفرض اتفاق جهة السهمين.

تحقق من المسافتين وموضع تقاطع المركزين

عند التماس يكون الخط عموديًا على نصف القطر. [3]

لأن ع متجه وحدة، معادلة الخط عبر أ هي ع·(س،ص)=4، أي 5س+12ص=52. نراجع أ: (5×20+12×48)/13=676/13=52، وب: (5×164−12×12)/13=676/13=52.

طول متجه المعاملات (5،12) يساوي 13. المسافة من و إلى الخط 52/13=4، ومن ن |65−52|/13=1. تعبيران 0−52 و65−52 مختلفا الإشارة؛ المركزان على جهتين متقابلتين، وهذا يميز المماس الداخلي هنا. عند ص=0 نجد س=52/5=10.4، بين المركزين.

فرق ب−أ=(144/13،−60/13). مربع الطول (20736+3600)/169=144، فيكون أ ب=12 سم. والضرب الداخلي مع ع يساوي (5×144−12×60)/169=0؛ نصفا القطر كلاهما عموديان على الوصل.

المساعد ج ن معادلته 5س+12ص=65؛ بعده عن و 5 أكبر من 4، فلا يلتقي الكبيرة، وعن ن صفر فيقطع الصغيرة. إزاحته إلى الناتج |65−52|/13=1 سم. انعكاس الصادات يعطي المماس الآخر 5س−12ص=52، بنقطتين (20/13،−48/13) و(164/13،12/13).

اختبار الجهة وحد الفصل بين الدائرتين

في الاختيار الخاطئ ب′=ن+ع=(174/13،12/13)، يبقى ن ب′=1 سم. لكن أ ب′=(154/13،−36/13)، وو أ=(20/13،48/13)؛ الضرب الداخلي (20×154−48×36)/169=1352/169=8 سم². لا يتحقق التعامد عند أ.

نغير بعد المركزين وحده إلى d=5، مع بقاء نصفَي القطر 4 و1. دائرة المجموع ودائرة القطر تلتقيان عند ج=(5،0) فقط: ص²=25−25=0. الاتجاه ع=(1،0)، فتتطابق أ=(4،0) وب=(5،0)−ع=(4،0). الخط العمودي على المحور هناك س=4 يبعد 4 و1 عن المركزين؛ هو المماس عند نقطة التماس المشتركة، وطول أ ب صفر. لا نسمي النتيجة مماسين داخليين مختلفين.

عند d=4 تصبح معادلة التقاطع 4س=25، ومنه ص²=25−625/16=−225/16. لا تقاطع حقيقي للدائرة المساعدة ودائرة القطر؛ فلا نستخرج مماسًا داخليًا بهذه الخطوات. لا نستنتج من فشلها انعدام كل نوع آخر من المماسات المشتركة.

اللوحة الداخلية تقارن اختيار ب الصحيح باختيار ب′، ثم تعرض حالة d=5 بمقياس الرسم نفسه. لا نستعمل الصورة مسطرة؛ المعادلات تثبت التعامد والمسافات، وتميز المماس عند نقطة مشتركة من قطعة ذات طول موجب.