منحنى فيفياني: لماذا لا تكفي دائرته المسقطة لتحديد النقطة؟

الخلاصة السريعة

الإسقاط على xy يحذف الإحداثي z؛ لذلك تتطابق صورتا A=(1,1,√2) وB=(1,1,−√2)، مع أن المسافة بينهما2√2. أما الإسقاط على yz فيحفظ هوية النقطة في هذا المنحنى، لأن x يستعاد من z.

• نختار x²+y²+z²=4 و(x−1)²+y²=1، وتمثيل x=1+cos t وy=sin t وz=2sin(t/2). [1] الكرة نصف قطرها2، والأسطوانة نصف قطرها1 ومحورها مواز لمحور z. ندرس تقاطع السطحين، لا حجم جسم مشترك.
• المجال0≤t≤4π يغطي المنحنى كاملًا. الإزاحة2π تبقي x وy وتغير إشارة z؛ الفترة0≤t≤2π تغلق الحلقة العليا فقط، ثم ترسم الفترة التالية الحلقة السفلى. t معامل زاوي بالراديان، وليس زمنًا.
• A عند t=π/2 وB عند t=5π/2 مختلفتان، لكن صورتهما في xy هي(1,1). النقطة D=(1,1,0) على الأسطوانة ولا تقع على الكرة؛ ليست كل صورة مسقطة نقطة من المنحنى.
• عند N=(2,0,0) تلتقي الحلقتان. متجها المماس(0,1,1) و(0,1,−1) غير صفريين ومتعامدان؛ التقاء الفرعين ليس رأسًا مدببًا. الأصل O=(0,0,0) لا يقع على الكرة.
• من حذف x نحصل على x=2−z²/2 وy²=z²−z⁴/4، مع−2≤z≤2. لذلك إسقاط xz قطعة من قطع مكافئ، وتوجد غالبًا نقطتان تختلفان في y؛ عند z=0 أوz=±2 تتطابق الخيارات.
• إسقاط yz يحقق4y²+z⁴=4z². كل زوج(y,z) صالح يعيد قيمة واحدة x=2−z²/2؛ لذا لا تضيع هوية النقطة هنا. استعادة النقطة لا تعني أن الأطوال الفراغية محفوظة في الرسم المسطح.

ابدأ بمعادلتي السطحين

المعادلتان المرجعيتان هما (x−a)²+y²=a² وx²+y²+z²=4a². [1] نضع a=1، فتكون الكرة حول الأصل O=(0,0,0) ونصف قطرها2. السطح الأسطواني يمتد موازيًا لمحور z؛ محوره هو الخط x=1 وy=0 ونصف قطره1.

لا نضيف قاعدتين أو ارتفاعًا محددًا للأسطوانة. المعادلة لا تعتمد على z، ولذلك تصف سطحًا أسطوانيًا ممتدًا. أما الكرة فتعني هنا السطح الذي تبعد نقاطه2 عن الأصل؛ تقاطع السطحين منحنى، وليس كل الحيز الذي يقع داخل الجسمين.

من توسيع معادلة الأسطوانة نجد x²+y²=2x. بجمعها مع معادلة الكرة نستنتج2x+z²=4، أي x=2−z²/2. هذه العلاقة ستسمح باستعادة الإحداثي المحذوف عند النظر من اتجاه مناسب.

لماذا نحتاج إلى4π لعرض الحلقتين؟

الصيغ المرجعية هي x=a(1+cos t)، وy=a sin t، وz=2a sin(t/2). [1] عند a=1 تتحقق معادلة الأسطوانة لأن cos²t+sin²t=1. ومجموع x²+y² يساوي2+2cos t، بينما z²=2−2cos t؛ المجموع4 كما تتطلب الكرة.

لإثبات تغطية كل التقاطع، خذ أي نقطة على الأسطوانة وحدد u في0≤u＜2π بحيث x=1+cos u وy=sin u. من الكرة تصبح z²=4sin²(u/2). لأن sin(u/2) غير سالب في هذا المجال، يعطي t=u القيمة غير السالبة، ويعطي t=u+2π القيمة غير الموجبة.

إذن0≤t≤4π يغطي اختياري z كليهما. في النصف الأول يكون z غير سالب، وفي الثاني غير موجب. كلا النصفين يبدأ وينتهي عند N=(2,0,0)، لكنهما لا يصفان مجموعة النقاط نفسها.

الإزاحة t+2π تحفظ x وy، بينما sin(t/2+π)=−sin(t/2) تغير إشارة z. لإعادة الصيغ الثلاث لكل t نحتاج4π: حفظ أول مركبتين يتطلب مضاعفًا صحيحًا من2π، والمضاعف الفردي يقلب الثالثة. لذلك4π هي أصغر دورة موجبة للتمثيل كله.

لا نقول إن الفترة2π لا تغلق أي مسار؛ إنها تغلق الحلقة العليا بالفعل. الخطأ هو عدّ هذه الحلقة المنحنى كاملًا. كما أن الدائرة في xy تُتبع مرتين خلال دورة4π، مرة مع كل حلقة.

احسب نقطتين مختلفتين لهما صورة واحدة

عند t=π/2 نجد A=(1,1,√2). وعند t=5π/2 نجد B=(1,1,−√2). لكل نقطة مربع بعد عن الأصل1+1+2=4، وتحقق الأسطوانة0+1=1. لذلك النقطتان صحيحتان للمنحنى وليستا حلين جبريين زائدين.

متجه AB هو(0,0,−2√2)، فيكون طول AB هو2√2. عند الإسقاط المتعامد على xy نحذف المركبة الثالثة، فتصير صورة كل نقطة(1,1). المسافة بين الصورتين صفر، مع بقاء المسافة بين النقطتين موجبة.

إذا وضعنا الصورة داخل الفضاء على مستوى z=0، سميناها D=(1,1,0). هي تحقق معادلة الأسطوانة، لكن مربع بعدها عن الأصل2 لا4؛ لذلك ليست على الكرة أو المنحنى. الإسقاط يعطي موقعًا في مستوى، ولا يضمن بقاء الموقع على السطح الأصلي.

الدائرة المسقطة هي (x−1)²+y²=1. لكل موضع عليها يكون z²=4−2x. توجد نقطتان مختلفتان في المنحنى إذا x＜2؛ وعند x=2 تفرض الدائرة y=0 وتصبح z=0، فتوجد N وحدها. الصورة الواحدة قد تخفي نقطتين، لكن هذا ليس صحيحًا عند العقدة.

ميز العقدة من الأصل ومن الرأس المدبب

يظهر N=(2,0,0) عند t=0 وعند t=2π، ثم يعاد عند4π لإغلاق الدورة. أما O=(0,0,0) فلا يحقق الكرة، لذلك لا نسمي موضع التقاء الحلقتين أصل الإحداثيات.

مشتقة التمثيل هي(−sin t,cos t,cos(t/2)). عند t=0 تعطينا(0,1,1)، وعند t=2π تعطينا(0,1,−1). كلا المتجهين غير صفري، وضربهما النقطي1−1=0؛ هناك مروران منتظمان بمماسين متعامدين عند النقطة نفسها.

مربع طول المشتقة يساوي1+cos²(t/2)، وهو لا يقل عن1؛ لا يتوقف التمثيل بانعدام المشتقة. نسمي التقاء المرورين عقدة أو نقطة مزدوجة، ولا نستنتج رأسًا مدببًا لمجرد أن الرسم يشبه رقم8.

النقطتان U=(0,0,2) وL=(0,0,−2) تأتيان عند t=π وعند t=3π. هما أقصى قيمتي z، ومن x=2−z²/2 نحصل هناك على x=0 ثم y=0. الجدول يفصل بين هذه المواضع والعقدة.

إسقاط xz يبقي اختيارين للإحداثي المحذوف

بالتعويض عن x في x²+y²=2x نجد y²=z²−z⁴/4. حتى يكون الطرف غير سالب يلزم−2≤z≤2. الصيغ x=2−z²/2 وy=±z√(1−z²/4) تعيد الحلول كلها؛ علامة± تشمل الخيارين حتى عندما يكون z سالبًا.

الصورة في xz تحقق x=2−z²/2 داخل المجال المحدد. هذه قطعة من قطع مكافئ، وليست القطع المكافئ كاملًا. عند اختيار z داخل المجال غير0 وغير الطرفين توجد قيمتان متعاكستان غير صفريتين لـ y، فتظهر نقطتان فراغيتان في الموضع المسقط نفسه.

مثلًا، عند z=√2 تصبح x=1 وy=±1. هاتان نقطتان تشتركان في x وz، وتختلفان في y. أما عند z=0 فتعطينا الصيغ N، وعند z=±2 تعطينا U أوL، فيصبح الخياران نقطة واحدة.

حذف الإحداثي من الرسم لا يلغي الحاجة إلى فحص مجاله. تمديد المنحنى المسقط إلى قيم |z|＞2 يولد مواضع لا تعود إلى نقاط حقيقية في تقاطع السطحين.

إسقاط yz يحفظ هوية النقطة في هذا المثال

ضرب معادلة y²=z²−z⁴/4 في4 يعطي4y²+z⁴=4z². نستعمل y وz نفسيهما، دون تسمية الإحداثيين الجديدين x وy ثم خلطهما بإحداثيات الفضاء.

لكل زوج حقيقي(y,z) يحقق هذه المعادلة، تكون y² غير سالبة، فينتج |z|≤2. نعيد x=2−z²/2، ثم تتحقق معادلتا الكرة والأسطوانة بالتعويض. ولا توجد قيمة ثانية لـ x تحقق العلاقة مع z نفسه.

لذلك الإسقاط على yz واحد لواحد على مجموعة نقاط هذا المنحنى. صورتا A وB هما(1,√2) و(1,−√2)، فتبقيان منفصلتين. اشتراك مرورين في N لا ينشئ نقطتين فراغيتين مختلفتين هناك؛ النقطة واحدة ولها مماسان.

لكن حفظ هوية النقطة لا يحفظ جميع المسافات: بين U وN طول فراغي2√2، بينما المسافة بين صورتيهما في yz تساوي2. إذا أردت طولًا فراغيًا فاستعد x أولًا واحسبه في ثلاثة أبعاد.

اقرأ أي صورة مع تحديد مستوى الإسقاط والإحداثي المحذوف. في هذا المثال تخفي xy اختيار z، وتخفي xz اختيار y غالبًا، أما yz فيسمح باستعادة x وحيدًا. التمييز يأتي من معادلات المنحنى، لا من التشابه البصري وحده.