حساب نصف قطر الدائرة من القوس: الزاوية أو الوتر والارتفاع

الخلاصة السريعة

يمكن إيجاد نصف قطر الدائرة من طول القوس وزاويته المركزية، أو من طول وتره وارتفاعه. أما طول القوس وحده فلا يحدد نصف القطر.^[1][2]

• عند قياس الزاوية بالراديان: r = s/θ، بشرط زاوية غير صفرية.^[1]
• إذا كانت الزاوية α بالدرجات: r = 180s/(πα)؛ لا ندخل الدرجات مباشرة في صيغة الراديان.^[1]
• من وتر طوله c وارتفاع قوس h موجب: r = c²/(8h) + h/2، مع استخدام وحدة طول واحدة.^[3]
• في المثال: قوس طوله 6π سم وزاويته 120° ينتمي إلى دائرة نصف قطرها 9 سم.
• ارتفاع القوس مسافة عمودية من منتصف الوتر إلى منتصف القوس المختار؛ للوتر نفسه قوسان بارتفاعين مختلفين.^[2]

حساب نصف القطر من طول القوس والزاوية

طول القوس s مسافة على خط منحني؛ أما الوتر فخط مستقيم بين الطرفين. تربط الصيغة s = rθ طول القوس بنصف القطر، عندما تكون θ بالراديان.^[1]

لنأخذ قوسًا طوله 6π سم وزاويته المركزية 120°. نحول الزاوية: 120π/180 = 2π/3 راديان، ثم نحسب r = 6π ÷ (2π/3) = 9 سم. وبصيغة الدرجات مباشرة: 180 × 6π ÷ (π × 120) = 9.

ولقوس آخر طوله 15 سم وزاويته 1.2 راديان، يكون r = 15 ÷ 1.2 = 12.5 سم. ليس مطلوبًا إدخال π هنا؛ فالزاوية أعطيت بالراديان أصلًا.

حساب نصف القطر من الوتر وارتفاع القوس

نسمي طول الوتر c، وارتفاع القوس h. يقاس h عموديًا عند منتصف الوتر. إذا أعطيت القيمتان، نحسب r = c²/(8h) + h/2؛ وهي الصيغة نفسها r = ((c/2)² + h²)/(2h).^[2][3]

في قوس صغير وتره 24 سم وارتفاعه 4 سم، نحسب 24²/(8 × 4) + 4/2 = 576/32 + 2 = 20 سم. للتحقق، نصف الوتر 12، وبعد المركز عن الوتر 16، فنجد 12² + 16² = 20².

القوس الآخر بين طرفي هذا الوتر ارتفاعه 36 سم. إدخاله يعطي أيضًا 576/288 + 18 = 20 سم؛ فالدائرة واحدة. في الرسم نختار القوس الصغير وارتفاعه 4 سم، ولا نخلط ارتفاعه بارتفاع القوس الآخر.

الآلة المرتبطة بصيغة عرض القوس وارتفاعه في Math Open Reference مقيدة بالأقواس حتى نصف دائرة؛ أما تعريف الارتفاع فيجب أن يوضح أي القوسين نقصده.^[2][3]

هل يكفي طول القوس وحده؟

في المعادلة s = rθ يوجد مقدار آخر غير معلوم إذا عرفنا s وحده. لنثبت ذلك بمثال مستقل: طول 6 سم يوافق r = 6 سم مع θ = 1 راديان، ويوافق r = 12 سم مع θ = 0.5 راديان. الدائرتان مختلفتان والقوسان متساويان في الطول.

وبالمثل، لا نستبدل الوتر بالقوس في قانون الارتفاع. في المثال السابق طول الوتر 24 سم، أما طول القوس الصغير فهو 40 × arcsin(0.6) ≈ 25.740 سم؛ حسبنا الزاوية بالراديان.

نحتفظ بالرمز π في الحساب الدقيق قدر الإمكان. قيم مثل 3.14 تقريب للثابت، وليست قيمته الدقيقة.^[1] قبل التعويض، نراجع هل الزاوية بالدرجات أم الراديان، وهل الطول المعطى وتر أم قوس.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: قانون مساحة القطاع الدائري بالدرجات والراديان.