قد نجد بديلًا لكل خط منفرد في رسم متصل، ومع ذلك يؤدي حذف نقطة واحدة إلى فصل الرسم. السبب أن حذف الرأس يزيل معه كل الحواف المتصلة به، بينما حذف حافة يترك رأسيها. سنختبر هذا الفرق على خمسة رؤوس تشكل مثلثين يشتركان في رأس واحد، ثم نغيّر اتصالًا واحدًا لنرى أثره.
الخلاصة السريعة
في مثالنا C هي نقطة القطع الوحيدة: حذفها وحوافها الأربع يترك جزأين هما A–B و D–E، بدل الجزء المتصل الواحد. لكن لا توجد حافة جسر؛ كل حافة من الحواف الست لها مسار بديل بين طرفيها. وجود نقطة قطع هنا لم يستلزم وجود جسر.
- نقطة القطع رأس يزيد عدد المكونات المتصلة عند حذفه مع حوافه. الجسر حافة يزيد عدد المكونات عند حذفها وحدها، مع إبقاء الرؤوس. [1][2]
- نعالج مخططًا بسيطًا غير موجه، بلا حلقات ذاتية أو حواف متوازية. مثالنا مثلث A,B,C ومثلث C,D,E يشتركان في C؛ المخطط الأصلي مكوّن واحد.
- بعد حذف C تبقى A–B و D–E فقط؛ عدد المكونات 2 بدل 1. أما حذف أي رأس آخر وحده، فيترك الرؤوس الباقية متصلة.
- حذف A–B وحدها لا يفصل المثال: يبقى البديل A→C→B. ولكل حافة أخرى بديل داخل مثلثها؛ لذلك الحواف الست جميعًا ليست جسورًا.
- إذا أضفنا رأسًا معزولًا F، يصير العدد الأصلي 2؛ حذف C يرفعه إلى 3، وحذف F يخفضه إلى 1. نقارن العدد قبل الحذف وبعده، ولا نكتفي بأن الرسم منفصل أصلًا.
- إضافة B–D تلغي صفة القطع عن C، مع بقاء درجتها 4: بعد حذف C يبقى A→B→D→E. عدد الحواف عند الرأس لا يكفي للحكم على أثر حذفه.
حدد ما تحذفه، وما الذي تعدّه بعد الحذف
نقطة القطع رأس يؤدي حذفه مع الحواف المرتبطة به إلى زيادة عدد المكونات المتصلة. أما الجسر فحافة يزيد حذفها وحدها هذا العدد. التعريفان يتعلقان بمخطط غير موجه. [1][2]
نتعامل هنا مع مخطط بسيط: لا سهم على الحافة، ولا حافة تصل رأسًا بنفسه، ولا نسختان من الاتصال نفسه. نعد المكونات مجموعات الرؤوس التي يمكن الانتقال بين رؤوس كل منها عبر الحواف؛ ونحسب الرأس المعزول مكوّنًا وحده.
إذا حذفنا رأسًا، فلا يبقى اسمه رأسًا معزولًا في الرسم الناتج، بل يخرج من مجموعة الرؤوس. ونحذف كل حافة تصل إليه. وإذا حذفنا حافة، فنحتفظ بطرفيها، وبقية الحواف، حتى لو أصبح أحد الطرفين معزولًا. فرق العملية يسبق مقارنة النتيجة. [1][2]
نعود إلى المخطط الأصلي قبل كل اختبار في هذا المقال. لا نحذف A ثم B ثم C بالتتابع؛ بل نجرب حذف كل رأس وحده. وكذلك نختبر كل حافة وحدها، لأن حذف أكثر من عنصر سؤال مختلف.
مثلثان يتصلان عبر رأس مشترك واحد
الرؤوس هي A و B و C و D و E، والحواف كاملة هي A–B و B–C و C–A و C–D و D–E و E–C. أول ثلاثة خطوط تشكل المثلث A,B,C، والثلاثة الأخرى المثلث C,D,E. الرأس C هو موضع المشاركة الوحيد، ولا توجد حافة مباشرة من A أو B إلى D أو E.
يمكن الوصول بين جانبي الرسم عبر C، مثل A→C→D، ولذلك المخطط الأصلي متصل وله مكوّن واحد. عند حذف C، تختفي الحواف B–C و C–A و C–D و E–C، وتبقى A–B و D–E. لا توجد حافة تصل بين هاتين المجموعتين؛ صار عدد المكونات 2.
أما حذف A وحدها فيزيل A–B و C–A، ويترك B متصلة بـ C، ثم بـ D و E عبر المثلث الآخر. فعدد المكونات يبقى 1. وبالمثل لا يفصل حذف B أو D أو E وحدها الرؤوس الباقية. الجدول يعرض الاختبارات الخمسة منفصلة.
درجة C تساوي 4 لأنها تتصل بالرؤوس الأربعة الأخرى، بينما درجة كل رأس آخر 2. هذا وصف لعدد الحواف، وليس تعريف نقطة القطع. ما أثبت صفة القطع لـ C هو زيادة عدد المكونات عند حذفها في هذا الرسم تحديدًا.
| الرأس المحذوف | درجته أصلًا | المكونات بعد حذفه | نقطة قطع؟ |
|---|---|---|---|
| A | 2 | 1 | لا |
| B | 2 | 1 | لا |
| C | 4 | 2 | نعم |
| D | 2 | 1 | لا |
| E | 2 | 1 | لا |
الحافة الواحدة لها بديل، رغم أهمية الرأس المشترك
نبدأ من الرسم الأصلي مرة أخرى، ونحذف A–B فقط. الرأسان A و B ما زالا موجودين، ويمكن العبور بينهما عبر A→C→B. بقية الاتصالات باقية أيضًا، ولذلك لا يتغير عدد المكونات: يظل 1.
كل حافة في المثال تنتمي إلى مثلث كامل، وفيه المسار المؤلف من الحافتين الأخريين. الجدول يذكر بديلًا لكل حافة محذوفة. يمكن استبدال استعمال الحافة المحذوفة في أي اتصال سابق بهذا البديل؛ لهذا لا يفصل حذف أي واحدة من الحواف الست الرسم.
إذن ليس في هذا المثال جسر، مع أن فيه نقطة القطع C. عند حذف C، نفقد أربع حواف دفعة واحدة ونفقد الرأس نفسه؛ لا يمكن استعمال البدائل المارة به. لا تنتقل نتيجة اختبار حافة واحدة إلى اختبار رأس كامل.
كلمة «جسر» هنا مصطلح للحافة التي يفصل حذفها المخطط، وليست اسمًا لخط مرسوم بين مثلثين. لا نختار الجسر من شكل الخط أو طوله، كما لا نحول هذا النموذج المجرد إلى حكم عن سلامة شبكة حقيقية دون بياناتها. [2]
| الحافة المحذوفة وحدها | مسار بديل بين طرفيها |
|---|---|
| A–B | A→C→B |
| B–C | B→A→C |
| C–A | C→B→A |
| C–D | C→E→D |
| D–E | D→C→E |
| E–C | E→D→C |
في رسم منفصل أصلًا، قارن عدد المكونات
نضيف رأسًا جديدًا F بلا حواف إلى مثال المثلثين. صار المخطط مكوّنين: مجموعة A,B,C,D,E المتصلة، والرأس F المعزول. لا تتغير حواف المثلثين الست.
حذف C من هذا المثال الموسع يترك A–B و D–E و F، أي ثلاثة مكونات بدل مكوّنين. تبقى C نقطة قطع. أما حذف F وحدها، فيترك المثلثين المتصلين عند C، ويخفض العدد من 2 إلى 1؛ لذلك F ليست نقطة قطع.
يؤكد هذا المثال ضرورة الزيادة في العدد. عبارة «الرسم بعد الحذف منفصل» لا تكفي وحدها إذا كان الرسم قبل الحذف منفصلًا أصلًا. اكتب مجموعات الرؤوس الباقية، ثم قارن عددها بعدد المكونات قبل العملية.
اتصال إضافي يغيّر النتيجة دون تغيير درجة الرأس
ارجع إلى الرؤوس الخمسة الأصلية، دون F، وأضف الحافة B–D. لا تتصل هذه الحافة بـ C، لذا تبقى درجة C تساوي 4. لكن حذف C الآن يترك الحواف A–B و B–D و D–E، وهي سلسلة تصل الرؤوس الأربعة كلها: A→B→D→E.
عدد المكونات يبقى 1 بعد حذف C في هذا المثال المعدل، فلا تعود C نقطة قطع. قارن ذلك بنتيجة 2 قبل إضافة B–D. السبب وجود اتصال يسمح بعبور الجانبين دون C، وليس تغير عدد حواف C.
لتكرار الفحص، سجل مجموعة الرؤوس والحواف، وعد المكونات أولًا، وحدد هل تحذف رأسًا وحوافه أم حافة وحدها، ثم عد المكونات الباقية. ذكر العملية والنسخة التي اختبرتها يمنع خلط نتيجة الرسم الأصلي بنتيجة الرسم المعدل.
اقرأ أيضًا: رموز الرياضيات ومعانيها
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.