وحدات قياس الزوايا: الدرجة والراديان والتحويل بينهما

الخلاصة السريعة

تقيس الدرجة والراديان الزاوية نفسها بوحدتين مختلفتين؛ الدورة الكاملة 360° أو 2π راديان. ^[1]

• راديان واحد يقابل قوسًا طوله يساوي نصف القطر؛ θ=s/r. ^[1]
• للتحويل إلى راديان: اضرب الدرجات في π/180. ^[2]
• للتحويل إلى درجات: اضرب الراديان في 180/π. ^[2]
• الزاوية نسبة؛ تضاعف القوس ونصف القطر معًا لا يغيّرها. ^[1]
• الدرجة 60 دقيقة زاوية، والدقيقة 60 ثانية زاوية؛ ليست وحدات زمن. ^[2]

ما الذي يعنيه الراديان؟

الدرجة تعادل 1/360 من الدورة. أما الراديان فيربط الزاوية المركزية بقوس الدائرة: θ=s/r. يكون القياس راديانًا واحدًا عندما يساوي طول القوس نصف القطر. ^[1]

في مثال نختاره، نصف القطر 4 سم وطول القوس 6 سم؛ إذن θ=6/4=1.5 rad. نكتب وحدة الطولين نفسها قبل القسمة. ليس العدد 6 قياس الزاوية هنا، بل طول القوس. ^[1]

كيف تختار معامل التحويل؟

من الدرجة إلى الراديان نضرب في π/180، وفي الاتجاه العكسي نضرب في 180/π. تعادل العلاقة 180°=π rad اختبارًا سريعًا لاختيار المعامل. ^[2]

مثال أصلي: نحول 135° إلى راديان: 135×π/180=3π/4 rad. هذه الزاوية ثلاثة أثمان الدورة؛ لذلك نتوقع ثلاثة أثمان 2π، وهو الناتج نفسه.

وللتحويل العكسي، نختار 11π/8 rad: (11π/8)×(180/π)=247.5°. تختصر π؛ والنتيجة أكبر من 180° وأصغر من 360°، كما يوحي موقعها بين π و 2π.

الزاوية لا تتغير لمجرد تكبير الدائرة

إذا ضاعفنا نصف القطر والقوس معًا، تبقى النسبة s/r ثابتة. لذلك يمكن أن تختلف أطوال القوسين بينما يكون قياس الزاوية واحدًا. ^[1]

في الدائرة الثانية من مثالنا نختار نصف قطر 8 سم وقوسًا 12 سم؛ نحصل على 12/8=1.5 rad أيضًا. لكن القوس تضاعف من 6 إلى 12 سم. الرسم يحافظ على الزاوية ويغيّر الحجم.

قد تكتب الزاوية بالدرجات والدقائق والثواني: 1°=60′، و 1′=60″. المقصود أجزاء الزاوية، لا وحدات زمن. ^[2]

مثلًا 18°30′=18+30/60=18.5°. نصف الدرجة هنا 30 دقيقة زاوية، ولا نقرأها عددًا عشريًا 18.30.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: قانون مساحة القطاع الدائري بالدرجات والراديان.