ورقة ديكارت: لماذا لا تكون القيمة المستبعدة نقطة الأصل؟

الخلاصة السريعة

في x=6t/(1+t³) وy=6t²/(1+t³)، تُستبعد t=−1 لأن المقام صفر والبسطين غير صفريين؛ لا تنتج نقطة الأصل. الأصل يأتي عند t=0، ويعود إليه المنحنى حدّيًا عندما |t|→∞. عنده مماسان هما المحوران، أما المقارب فهو x+y+2=0.

• معادلة المثال x³+y³=6xy متناظرة عند تبديل x وy. عند x=0 أوy=0 تفرض الإحداثي الآخر صفرًا؛ الأصل O=(0,0) هو التقاطع الوحيد مع كل محور، وهو نقطة صحيحة.
• التمثيل x=6t/(1+t³)، وy=6t²/(1+t³) يستبعد t=−1. [1] القيمة t موجبة ترسم الحلقة في الربع الأول، والقيم السالبة على جانبي−1 ترسم الفرعين غير المحدودين. بعيدًا عن الأصل تكون t=y/x.
• عند t=2 نحصل على P=(4/3,8/3). تحقق المعادلة، ومتجه مشتقتها(−10/9,−8/9) يعطي ميل المماس4/5، ومعادلته4x−5y+8=0. الميل2 للشعاع OP ليس ميل المماس.
• عندما t→−1 يكبر الإحداثيان في اتجاهين متعاكسين. الهوية x+y+2=2(t+1)²/(t²−t+1) تثبت المقارب x+y+2=0. عند t=−2 تكون A=(12/7,−24/7)، وباقي الخط2/7؛ ليست A على المقارب.
• عند t=0 تكون المشتقة(6,0)، فيكون المماس y=0. باستعمال u=1/t نحصل على x=6u²/(1+u³) وy=6u/(1+u³)؛ عند u=0 المشتقة(0,6)، فيكون المماس x=0. الأصل تقاطع بمماسين، لا رأس مدبب بمماس واحد.
• مساحة الحلقة وحدها هي نصف تكامل xy′−yx′ من t=0 إلى∞. تكون الدالة تحت التكامل18t²/(1+t³)²، ودالتها الأصلية−6/(1+t³)، فتنتج6 وحدات مربعة. الفرعان الخارجيان ليسا حدود الحلقة.

منحنى تكعيبي متناظر والأصل صالح

نأخذ مستوى ديكارتيًا بمقياس واحد للمحورين. معادلة ورقة ديكارت العامة x³+y³=3axy؛ نضع a=2، فتكون معادلة المثال x³+y³=6xy. [2] لا نفرض إحداثيات موجبة قبل دراسة المنحنى كله.

إذا بدّلنا x وy بقيت المعادلة كما هي، فيكون الخط y=x محور تناظر. لا يعني ذلك أن المنحنى يتكرر في الأرباع الأربعة؛ التناظر هنا تبديل إحداثيين، وليس عكس إشارة كل منهما.

بوضع x=0 نحصل على y³=0، أي y=0. وبوضع y=0 نجد x=0. إذن O=(0,0) نقطة صحيحة، وهي التقاطع الوحيد مع أي من المحورين.

على الخط y=x تصبح المعادلة2x³=6x²؛ الحلول x=0 وx=3. نحصل على O وT=(3,3). النقطة T ليست الطرف الأقصى لكل إحداثي، وإنما نقطة تناظر مفيدة على الحلقة.

للدراسة نستخدم معاملًا حقيقيًا t لتتبع نقاط المنحنى. ليس t زمنًا ولا إحداثيًا أفقيًا؛ قيمته تحدد إحداثيين معًا، وقد تصل نقطة واحدة من جهتين مختلفتين في التتبع.

هذا المثال حساب هندسي، لا مسار جسم قيس في تجربة. سنفصل بين المعادلة التي تشمل الأصل، والتمثيل الوسيطي الذي له قيمة مستبعدة، والحدود التي تعيدنا إلى نقطة صحيحة.

استخرج التمثيل ثم قسّم مجال المعامل

التمثيل المرجعي هو x=3at/(1+t³) وy=3at²/(1+t³). [1] عند a=2 نحصل على x=6t/(1+t³) وy=6t²/(1+t³). المقام ينعدم عند t=−1 فقط، فتستبعد هذه القيمة.

لإثبات صلته بالمعادلة، خذ نقطة غير الأصل. لا يمكن أن يكون x=0، فنضع t=y/x ونكتب y=tx. التعويض يعطي x³(1+t³)=6tx²؛ بالقسمة على x² نحصل على x(1+t³)=6t.

لا تصلح t=−1 في المعادلة الأخيرة، لأنها تطلب0=−6. لذلك نستعيد x=6t/(1+t³)، ثم y=tx. الأصل عولج منفصلًا؛ عند t=0 يعطينا التمثيل O مباشرة، فلم نفقده بالقسمة.

إذا t＞0 فإن الإحداثيين موجبان. تبدأ الحلقة من O عند t=0، وتعود إليه عندما t→∞، لأن x≈6/t² وy≈6/t. كل نقطة غير الأصل على الحلقة تحمل نسبة t=y/x واحدة، فلا يعاد تتبعها بقيمة موجبة أخرى.

إذا −1＜t＜0 يكون المقام موجبًا، فيصبح x سالبًا وy موجبًا؛ هذا فرع في الربع الثاني. وإذا t＜−1 يصبح المقام سالبًا، فتكون x موجبة وy سالبة؛ هذا فرع في الربع الرابع.

لا يوجد جزء من المنحنى في الربع الثالث. لو كان الإحداثيان سالبين لكان x³+y³ سالبًا و6xy موجبًا، وهذا مستحيل. التقسيم مبني على الإشارات والمعادلة، وليس على تخمين شكل الورقة.

نقطة كسرية ومماس يختلف عن الشعاع

نختار t=2، فيكون المقام9. لذلك P=(12/9,24/9)=(4/3,8/3). نراجع المعادلة: x³+y³=64/27+512/27=64/3، و6xy=6×32/9=64/3.

بالتناظر نجد Q=(8/3,4/3)، وتوافق t=1/2. أما t=1 فتنتج T=(3,3). يعرض الجدول هذه النقاط والأصل ونقطة A من الفرع الخارجي الذي سنفحصه لاحقًا.

نشتق بالنسبة إلى t: x′=6(1−2t³)/(1+t³)² وy′=6t(2−t³)/(1+t³)². عند t=2 تصبح المشتقة(−10/9,−8/9). لأن x′ غير صفر، يكون ميل المماس y′/x′=4/5.

باستعمال النقطة P نكتب y−8/3=(4/5)(x−4/3). بعد الترتيب نحصل على4x−5y+8=0. تعويض P يعطي16/3−40/3+8=0، فيثبت مرور الخط بالنقطة.

هناك مراجعة مستقلة بالاشتقاق الضمني: من x³+y³=6xy نحصل على dy/dx=(2y−x²)/(y²−2x) عندما المقام غير صفر. عند P يساوي البسط32/9 والمقام40/9، فتظهر النسبة4/5 نفسها.

الخط OP ميله y/x=2؛ إنه شعاع الموضع، وليس المماس. لا ننقل قاعدة عمودية المماس على نصف القطر من الدائرة إلى هذا المنحنى. عند T مثلًا يكون متجه المشتقة(−3/2,3/2)، ومماسه x+y=6.

القيمة المستبعدة تقود إلى المقارب

عند t=−1 يكون المقام1+t³ صفرًا، بينما بسط x يساوي−6 وبسط y يساوي6. ليست هذه حالة0/0، ولا يمكن تعريفها بوضع النقطة O بدلها؛ الإحداثيان يتباعدان دون حد.

من جهة t＜−1، يقترب المقام من صفر سالب، فتتجه x إلى∞ وy إلى−∞. ومن جهة t＞−1، يتجه x إلى−∞ وy إلى∞. تغير الإشارة عبر القطب لا يمثل قطعة تمر خلال الأصل.

لإيجاد خط الاقتراب نجمع الإحداثيين: x+y=6t(1+t)/(1+t³). لأن t≠−1، نختزل العامل1+t لنحصل على x+y=6t/(t²−t+1).

بإضافة2 نجد x+y+2=2(t+1)²/(t²−t+1). المقام يساوي(t−1/2)²+3/4، وهو موجب دائمًا. عندما t→−1 تؤول القيمة إلى صفر، مع بقاء الإحداثيين غير محدودين.

إذن المقارب هو x+y+2=0، الموافق للصيغة العامة x+y+a=0. [2] البعد العمودي من النقطة إلى هذا الخط هو |x+y+2|/√2، فيؤول إلى صفر أيضًا؛ لا نكتفي بملاحظة مجموع الإحداثيين.

لأي t صالح ومحدود، تكون2(t+1)²/(t²−t+1) موجبة. لذلك لا تقع نقطة من المنحنى على المقارب. حتى O تعطي باقيًا2. عند t=−2 نحصل على A=(12/7,−24/7)، وباقي الخط2/7 وبعدها عنه2/(7√2).

الرسم الداخلي يعرض أجزاء محدودة من الفرعين وخط المقارب، مع الحلقة. نهايات الخطوط عند حدود العرض لا تعني أن الفرعين ينتهيان هناك. لا نصل عينات على جانبي t=−1 بخط عابر للمشهد.

الأصل تقاطع بمماسين هما المحوران

عند t=0 نحصل على O، ومتجه المشتقة(6,0) غير صفري. اتجاه المرور أفقي، لذلك المماس y=0. يمكن أن تمر النقطة من الفرع الأيسر إلى الحلقة عبر الأصل في هذا التمثيل.

للجهة الأخرى نضع u=1/t. تصبح الإحداثيات x=6u²/(1+u³) وy=6u/(1+u³). هذه الصيغة معرفة قرب u=0؛ تعطي O هناك، ومتجه المشتقة بالنسبة إلى u هو(0,6).

لذلك المماس الثاني x=0 رأسي. المرور الثاني منتظم أيضًا، ويصل الحلقة بالفرع السفلي الأيمن. المحوران متعامدان، والأصل تقاطع ذاتي للمنحنى، لا رأس مدبب بمماس مشترك واحد.

لا يوجد t محدود غير صفر يعطي O في الصيغة الأولى. عودة المنحنى إلى الأصل عندما |t|→∞ توصف بإضافة نافذة المعامل u؛ اللانهاية ليست عددًا نعوضه في كسر عادي.

عند O تفشل صيغة الميل الضمني بقسمة0/0، لكن فشل هذه القسمة لا يثبت غياب المماس. النافذتان t وu تحددان خطين من مشتقتين غير صفريتين. وجود تقاطع واحد مع كل محور لا يمنع المحور نفسه من أن يكون مماسًا لأحد المرورين.

المحوران مماسان عند نقطة محددة؛ المقارب x+y+2=0 خط اقتراب للفرعين عند اللانهاية. الخطوط الثلاثة لها أدوار مختلفة، ولا نستبدل إحدى هذه العلاقات بأخرى اعتمادًا على شكل الصورة.

احسب مساحة الحلقة وحدها

نحصر الحساب في الحلقة ذات t＞0، ونضم نقطة الأصل في إغلاقها. تتبعها يبدأ من الأصل قرب المحور الأفقي، ويمر بـT، ثم يعود قرب المحور الرأسي؛ الاتجاه حول الحلقة موجب.

مساحة الحلقة هي نصف تكامل xy′−yx′ من0 إلى∞. بالتعويض في الإحداثيات ومشتقاتها نجد (xy′−yx′)/2=18t²/(1+t³)². هذا التكامل غير سالب على المجال المختار.

الدالة الأصلية هي−6/(1+t³)، لأن اشتقاقها يعطي18t²/(1+t³)². عند t=0 تكون−6، وعندما t→∞ تؤول إلى صفر. الفرق0−(−6)=6 وحدات مربعة.

توافق النتيجة المساحة المرجعية3a²/2 عند a=2. [1] لا نحسب مساحة من طول الحلقة أو من مربع بعدها عن الأصل؛ التكامل يتتبع الحد الكامل بالاتجاه الصحيح.

الفرعان الخارجيان ليسا جزءًا من حد هذه الحلقة المغلقة. قد نعرّف مناطق أخرى باستعمال المقارب أو حدود إضافية، لكن نتيجتها تخص تلك الحدود الجديدة؛ لا نخلطها بمساحة الحلقة6.

لرسم الحلقة كاملة دون قيمة معامل ضخمة، يمكن تتبع t من0 إلى1 ثم تتبع u من1 إلى0 في الصيغة الثانية. يلتقي الجزآن عند T ويغلقان عند O؛ هذه هي الطريقة الحسابية في الرسم الرئيسي، مع مقياس واحد للمحورين.