التفاضل التلقائي: لماذا تتغير المشتقة مع ثبات القيمة بعد detach؟

الخلاصة السريعة

ثبات قيمة الناتج لا يضمن ثبات مشتقته: فصل المسار الوسيط يغير ما يعده الرسم اعتمادًا على المعامل، وليس مجرد الرقم الظاهر.

• يسجل الرسم الحسابي العلاقات المستخدمة لحساب المشتقات؛ القيمة العددية وحدها لا تصف تلك العلاقات. ^[1]
• في مثالنا u = 2w + 3 وz = u² + w؛ عند w يساوي 1 يكون u مساويًا 5 وz مساويًا 26.
• في الرسم المتصل مشتقة z بالنسبة إلى w هي 4u + 1 فتساوي 21؛ مع اعتبار u المفصول ثابتًا في حساب الرسم تبقى المشتقة المباشرة 1.
• فصل u لا يجعل قيمته صفرًا ولا يفصل كل المسارات تلقائيًا؛ إعادة حساب القيمة مع مدخل آخر تختلف عن المشتقة التي يسمح بها الرسم الحالي.

ما الذي يسجله الرسم؟

يوضح الكتاب أن إطار التفاضل التلقائي يتتبع كيف تعتمد القيم على غيرها، ثم يحسب مشتقات باستخدام العلاقات المسجلة. ^[1] لذلك يجب أن نراجع العمليات التي أنشأت الناتج، لا أن نكتفي بمقارنة رقمين نهائيين.

تخيل سجلًا يكتب قيمة كل وسيط والرابطة التي أنتجته. الرقم 5 قد يكون ثابتًا وضعناه مباشرة، وقد يكون نتيجة صيغة تعتمد على معامل. تتساوى القيم الآن، لكن اشتقاق الناتج بالنسبة إلى ذلك المعامل يتطلب معرفة أي السجلين نقصده. لا نسمي تشابه الأرقام دليلًا على تشابه المشتقات.

ابنِ مثالًا متصلًا

اختر المعامل w، واحسب u = 2w + 3، ثم z = u² + w. عند w يساوي 1 يكون u مساويًا 5، ومربعه 25، ومع إضافة w نحصل على z يساوي 26. المثال من إعداد المقال ولم ننفذه في مكتبة.

للمعامل w طريقان إلى z: طريق يمر عبر u ثم مربعه، وطريق مباشر عبر الحد w. عندما نراجع قيمة 26، نحفظ صيغة كل طريق معها. تغيير تسجيل أحد الطريقين قد يغير المشتقة ولو لم يغير هذه القيمة عند النقطة المختارة.

قارن المشتقتين عند النقطة نفسها

في الرسم المتصل، مشتقة مربع u بالنسبة إلى u هي 2u، ومشتقة u بالنسبة إلى w هي 2. يعطي هذا الطريق 4u. ويضيف الحد المباشر w مشتقة مقدارها 1. يصبح المجموع 4u + 1؛ عند u يساوي 5 تكون المشتقة 21.

يناقش الكتاب detach لفصل اعتماد متغير وسيط عند حساب التدرجات، مع بقاء قيمته. ^[1] في تصورنا نفصل u بعد أن صار 5، ونحسب z من قيمته المفصولة ومن w. تعطي القيمة العددية 25 + 1 = 26 كما قبل، لكن المشتقة عبر u لا تعبر إلى w في هذا الرسم.

تبقى مساهمة الحد المباشر 1، فتكون المشتقة المسجلة 1 بدل 21. لا نعمم الرقم 1 على كل استعمال للفصل؛ جاء من صيغة مثالنا التي أبقت حدًا مباشرًا واحدًا.

لا تخلط فصل المسار بإعادة الحساب

لم يصبح u صفرًا، ولم نحذف الحد المباشر w. كذلك لم نمسح كل مشتقات كل متغير في البرنامج؛ وصفنا مسار اعتماد بعينه في الرسم الحالي. عند قراءة نتيجة تفاضل، حدد موضع الفصل والمعامل المطلوب والطرق الأخرى التي بقيت متصلة.

إذا أعدت حساب u = 2w + 3 عند قيمة w أخرى قبل فصله، فقد تتغير القيمة العددية الناتجة أيضًا. هذا لا يناقض اعتبار u ثابتًا بالنسبة إلى انتقال المشتقة في كل رسم منفصل. مقارنة نواتج تشغيلين مع تغير المدخل ليست هي المشتقة التي يسجلها الرسم بعد الفصل.

مقالنا يوضح القيمة والعلاقة والمشتقة في نقطة محددة. لا يقدم فصل المسار بوصفه علاجًا عامًا، ولا يدعي تدريب شبكة أو نجاح تعديل. الفحص المفيد هنا هو كتابة العلاقات المتصلة والمفصولة، ثم حساب مساهمة الطرق المتبقية دون استنتاجها من تشابه الناتج.