الانتشار العكسي: كيف تجمع قاعدة السلسلة مسارين إلى متغير واحد؟

الخلاصة السريعة

إذا أثر متغير في الخسارة عبر مسارين، نحسب مساهمة كل مسار ونجمعهما؛ حذف مسار يغير التدرج ولو بقي حساب الناتج واضحًا.

• نكتب h = a × x ثم التنبؤ b × h + h؛ الحد المباشر مسار ثانٍ، ولا نغير المعاملات أثناء حساب المشتقات.
• عند x يساوي 2 وa يساوي 3 وb يساوي 0.5، يكون h مساويًا 6 والتنبؤ 9؛ لهدف 7 وخسارة نصف مربع الخطأ تكون الخسارة 2.
• مشتقة الخسارة بالنسبة إلى التنبؤ 2، ومشتقة التنبؤ بالنسبة إلى h هي 0.5 + 1؛ مشتقة الخسارة بالنسبة إلى h تساوي 3.
• مشتقتا الخسارة بالنسبة إلى a وb هما 6 و 12؛ حذف مسار h المباشر يعطي 2 بدل 6 لـa، والحساب لا ينفذ تحديثًا أو يثبت سببًا واقعيًا.

ارسم العلاقة قبل الاشتقاق

يعرض فصل الكتاب الانتشار العكسي بوصفه حساب التدرجات عكس تسلسل العمليات، باستخدام قاعدة السلسلة ومساهمات المتغيرات الوسيطة. ^[1] نصنع رسمًا صغيرًا لنرى ما يحدث عند تفرع متغير واحد.

لدينا مدخل x ومعاملان a وb. نحسب h = a × x، ثم التنبؤ y = b × h + h. دخل h في حاصل الضرب، ودخل أيضًا في الجمع مباشرة. هذا المسار المباشر جزء معلن من الصيغة، ولا يمثل قراءة ثانية لمدخل جديد. سنثبت القيم أثناء كل حساب المشتقات.

احسب الناتج والخسارة

نختار x يساوي 2 وa يساوي 3، فيصبح h مساويًا 6. ومع b يساوي 0.5، يعطي مسار الضرب 3، والمسار المباشر 6، فيكون التنبؤ y مساويًا 9. الهدف الذي اختاره المثال 7، ولذلك الخطأ 2.

نجعل الخسارة L = نصف (y − 7)². عند التنبؤ 9 تكون نصف 4، أي 2. كل الأرقام من إعداد المقال، ولم نستخرجها من نموذج مدرب أو عينة بيانات. نحتاج الناتج أولًا كي نضع المشتقات في النقطة نفسها.

اجمع مساهمتي المسارين

مشتقة الخسارة بالنسبة إلى y هي y − 7، فتساوي 2. أما مشتقة y بالنسبة إلى h، فحد b × h يساهم بـb، وحد h المباشر يساهم بـ 1. يصبح المجموع 0.5 + 1 = 1.5.

باستخدام قاعدة السلسلة نحصل على مشتقة L بالنسبة إلى h مساوية 2 × 1.5 = 3. ويمكن كتابة المساهمتين منفصلتين: 2 × 0.5 = 1 من فرع الضرب، و 2 × 1 = 2 من الفرع المباشر. جمعهما يعطي 3.

لو تجاهلنا الفرع المباشر، لحصلنا على 1 فقط عند h. لم نرتكب خطأ في ضرب 2 في 0.5؛ حذفنا علاقة من الرسم. لهذا يفيد الاحتفاظ بالصيغ الأصلية إلى جانب الأسهم بدل الاعتماد على نتيجة التنبؤ وحدها.

ارجع إلى المعاملين

مشتقة h بالنسبة إلى a هي x، أي 2، فيكون تدرج الخسارة بالنسبة إلى a مساويًا 3 × 2 = 6. أما بالنسبة إلى b، فمشتقة y هي h، أي 6، ونضربها في مشتقة الخسارة عند y: نحصل على 2 × 6 = 12.

لو حذفنا مسار h المباشر في حسابنا الخاطئ، لصار تدرج a مساويًا 1 × 2 = 2، بدل 6. المقارنة تحدد موضع الخطأ الحسابي؛ لا نستنتج منها أن حذف مسار فعلي من نموذج يحافظ على الناتج أو المهمة.

حساب التدرجات هنا يسبق أي تحديث للمعاملات. تحتاج الخطوة الجديدة إلى معدل تعلم وقاعدة تحديث نختارهما منفصلين. كما أن مشتقة صيغة حسابية لا تثبت مسؤولية سببية في العالم الحقيقي. المقال يشرح انتقال مشتقات في رسم محدد، ولا يجري تدريبًا أو تفسيرًا سببيًا لنموذج.