الغلاف الإهليلجي: لماذا تختلف درجتان لهما البعد نفسه؟

الخلاصة السريعة

قد تتساوى المسافة العادية إلى المركز وتختلف درجة الغلاف الإهليلجي؛ مثالنا يعزل أثر اختلاف التغاير بين اتجاهين.

• يفترض الغلاف بنية غاوسية، وتقدير التغاير المتين لا يجعل هذا الافتراض مناسبًا تلقائيًا لأي شكل من البيانات. ^[1]
• عند مركز الصفر وتغاير قطري 9 و 1، للنقطتين (3، 0) و(0، 3) البعد العادي نفسه 3، لكن مربعي مسافة ماهالانوبيس هما 1 و 9.
• في التنفيذ المقروء تكون الدرجة الخام سالب مربع المسافة؛ مع إزاحة مفترضة سالب 4، يصبح القراران 3 وسالب 5. ^{[2] [3]}
• اختيار المعلمات والإزاحة في المثال ليس ملاءمة فعلية؛ القرار يصف موقعًا بالنسبة إلى النموذج، ولا يثبت خطأ السجل أو سببه.

أي شكل يتوقعه الغلاف؟

تشير الوثائق إلى بيانات غاوسية وإلى تقدير متين للموقع والتغاير. ^[1] المقصود بالموقع مركز النموذج، وبالتغاير كيفية انتشار الخصائص معًا؛ ليست كلمة متين إعفاءً من فحص شكل البيانات.

نتخيل قياسين عدديين مسجلين بالوحدة نفسها، حتى لا ننسب اختلاف النتيجة إلى اختلاف الوحدات. نضع المركز عند (0، 0)، ونفترض تغايرًا قطريًا قيمتاه تسعة وواحد، دون ارتباط بين القياسين.

هذه مصفوفة وضعناها لنشرح الحساب، ولم نستخرجها من سجلات. معناها أن الاتجاه الأول أكثر انتشارًا في النموذج المفترض. إذا كان انتشار الواقع مختلفًا، لا يجوز استعمال الأرقام نفسها ثم نسبة القرار إلى البيانات.

نقطتان على المسافة العادية نفسها

نأخذ أ عند (3، 0) وب عند (0، 3). تبعد كل منهما ثلاثة عن المركز بالمسافة الإقليدية. إذا احتفظنا بهذا الرقم وحده، فلن يظهر أي فرق بينهما.

مربع مسافة ماهالانوبيس في هذا النموذج القطري يساوي مربع الإحداثي الأول مقسومًا على تسعة، زائد مربع الثاني مقسومًا على واحد. للنقطة أ نحصل على 9/9، أي واحد؛ وللنقطة ب نحصل على 9/1، أي تسعة.

المسافتان بعد أخذ الجذر هما واحد وثلاثة، لكننا سنحتفظ بالمربع عند متابعة درجة التنفيذ. الاختلاف سببه مصفوفة التغاير المثبتة، لا تغيير المركز أو المسافة العادية أو مقياس جديد اختير لكل نقطة.

المربع مهم عند قراءة الدرجة

يعيد كود EllipticEnvelope سالب mahalanobis، وتعيد هذه الدالة الموروثة المسافات المربعة. ثم تطرح دالة القرار offset_ من الدرجة الخام. ^{[2] [3]}

إذن الدرجتان الخام في مثالنا سالب واحد وسالب تسعة. نفترض إزاحة سالب أربعة: سالب واحد ناقص سالب أربعة يساوي ثلاثة، وسالب تسعة ناقص سالب أربعة يساوي سالب خمسة.

الأولى على جانب الداخل والثانية على جانب الخارج وفق إشارة القرار في التنفيذ. ^[2] لو استخدمنا المسافة غير المربعة سهوا، لأصبحت الدرجة الثانية سالب ثلاثة، ثم قرارها واحدًا؛ أي لانقلب تفسير الحالة بسبب خطأ قراءة المخرج.

كيف تعرض المثال دون ادعاء ملاءمة؟

اكتب المركز والتغاير والإزاحة قبل عرض الدرجات. يتيح ذلك إعادة الحساب ويبين أن الإزاحة مفترضة؛ لم نختَر نسبة تلوث أو نحسب عتبة من عينات تدريب هنا.

إذا سأل قارئ لماذا خرجت ب، فالجواب الحسابي أن إحداثيها انحرف في الاتجاه الأقل انتشارًا تحت نموذجنا. أما كونها خطأ قياس، أو نوعًا مختلفًا مشروعًا، أو تغيرًا في العملية، فأسئلة تحتاج إلى معلومات إضافية.

ولو بدّلنا التغاير إلى واحد وتسعة، مع حفظ المركز والنقطتين والإزاحة، لتبادلتا مربعي المسافة والقرارين. تكشف هذه المقارنة الاعتماد على المعلمات بوضوح؛ لا تثبت أن النموذج الأول أصح أو أن الأرقام صالحة لأي مجموعة بيانات.