تغاير الخليط الغاوسي: أربع بنى لا يقيسها عدد المعلمات وحده

الخلاصة السريعة

بنية التغاير تحدد ما يمكن لكل مكون تمثيله، لا حجم جدول المعلمات وحده. قد تتساوى بنية كروية وأخرى مشتركة في عدد المعلمات مع اختلاف معناهما.

• الكروي يعطي تباينًا واحدًا لكل مكون، والقطري تباينًا لكل خاصية، والكامل مصفوفة لكل مكون، والمشترك مصفوفة عامة واحدة للجميع. ^[1]
• لثلاثة مكونات وخاصيتين، أعداد معلمات التغاير المستقلة هي 3 للكروي و 6 للقطري و 9 للكامل و 3 للمشترك.
• مع ستة إحداثيات للمراكز ومعلمتين مستقلتين للأوزان، يصبح مجموع المعلمات 11 و 14 و 17 و 11 بالترتيب نفسه؛ الحساب يفترض النموذج المحدد.
• تساوي العدد للكروي والمشترك لا يجعلهما النموذج نفسه؛ الأول يسمح بثلاثة تباينات كروية، والثاني يفرض مصفوفة واحدة قد تحتوي ارتباطًا.

أربع قيود مختلفة

في البنية الكروية يكون لكل مكون تباين واحد، وفي القطرية مصفوفة قطرية خاصة به. الكاملة تمنحه مصفوفة عامة، والمشتركة تستخدم مصفوفة عامة واحدة لجميع المكونات. ^[1]

سنفترض ثلاثة مكونات وقياسين لكل عينة. نعد المعلمات المستقلة التي تصف التغاير، ثم نضيف المراكز والأوزان. لا نحسب عدد الصفوف في الملف أو عدد عينات التدريب.

كلمة «مشترك» تصف ما يفرض على المكونات معًا؛ لا تعني أن المصفوفة قطرية. اكتب نوع البنية بجانب الأرقام حتى لا تقرأ عددًا صغيرًا وتستنتج منه غياب الارتباط بين القياسين.

لماذا المصفوفة الكاملة ليست أربعة أعداد مستقلة؟

مصفوفة التغاير ذات الخاصيتين متناظرة: إذا كانت الخانة العليا خارج القطر ب، فالسفلى ب أيضًا. يبقى تباينان ومعلمة تغاير واحدة، أي ثلاثة أعداد مستقلة.

لثلاثة مكونات كاملة نحتاج 3×3=9. في القطرية نحتاج تباينين لكل مكون، أي ستة. الكروية تحتاج عددًا لكل مكون، أي ثلاثة، والمشتركة تحتاج المصفوفة العامة مرة واحدة، أي ثلاثة أيضًا.

هذه أعداد تحت فرض ثلاثة مكونات وخاصيتين؛ تغيير أي منهما يغير الحساب. كما أن استقلال الأعداد في العد لا يعني قبول كل قيم ممكنة لها؛ المصفوفة التي تصلح للتغاير مقيدة رياضيًا.

إضافة المراكز والأوزان

لكل مركز إحداثيان، فتوجد ستة إحداثيات في النموذج. أوزان المكونات الثلاثة مجموعها واحد؛ يكفي اختيار اثنين ويحدد الشرط الثالث، لذلك نعد معلمتين مستقلتين للأوزان.

نضيف ثمانية إلى أعداد التغاير: الكروي 11، والقطري 14، والكامل 17، والمشترك 11. هذه حصيلة بنية النموذج المفترضة، وليست ذاكرة فعلية بالبايت أو عدد القيم المخزنة في كل تنفيذ.

يمنع هذا الفصل خطأ عد الأوزان الثلاثة مستقلًا ثم استخدام مجموعها واحدًا في الوقت نفسه. ويمكن فحص الحساب باستخراج مساهمة كل جزء بدل نقل رقم إجمالي دون معرفة ما يشمله.

العدد نفسه لا يعني الشكل نفسه

تخيل مصفوفة مشتركة صفها الأول {1، 0.5} وصفها الثاني {0.5، 1}. تحتوي تغايرًا غير صفري وتفرض هذا الشكل على المكونات الثلاثة. في المقابل، البنية الكروية تعطي كل مكون تباينًا خاصًا مع تغاير صفري.

العدد المستقل ثلاثة في الحالتين، لكن الأولى تربط الشكل بين المكونات وتتيح ارتباط القياسين، والثانية قد تغير الحجم من مكون إلى آخر دون ذلك الارتباط. لذلك لا تختزل الاختيار إلى «أقل معلمات».

المصفوفة هنا مثال هندسي مفترض، ولم نلائم بيانات أو نرتب البنى بحسب الدقة. إذا كان السؤال عن نتيجة فعلية، يلزم نموذج محدد وبيانات وتقييم؛ جدول العد يشرح القيود التي ستفرضها قبل تلك المقارنة.