انحدار العمليات الغاوسية: تباين الدالة أم تباين القياس؟

الخلاصة السريعة

اسأل ما الذي يمثله التباين: قيمة الدالة الكامنة أم قياسًا جديدًا مشوشًا؟ إضافة ضوضاء قياس مستقلة من النوع المفترض تزيد التباين، ولا تثبت أن الافتراضات تطابق الواقع.

• تحدد دالة المتوسط ونواة التغاير العملية الغاوسية؛ مثالنا يثبت متوسطًا قبليًا صفرًا ونواةً وضوضاء معلومتين. ^[1]
• مع ملاحظة قيمتها 2 وتباين ضوضاء 0.25، ينتج عن التغايرين 0.8 و 0.2 متوسطا 1.28 و 0.32 في الحساب المثبت.
• تباينا الدالة هنا 0.488 و 0.968؛ لقياس جديد بضوضاء مستقلة ذات التباين نفسه 0.25 يصبحان 0.738 و 1.218.
• التباين ليس الانحراف المعياري؛ ولا يكفي أي منهما منفردًا لإثبات جودة التنبؤ أو معايرة عدم اليقين في مهمة فعلية.

ما الذي ثبتناه قبل الحساب؟

نختار متوسطًا قبليًا صفرًا، وتباين الدالة عند كل موقع واحدًا، وملاحظة واحدة y=2. نفترض ضوضاء غاوسية مستقلة بمتوسط صفر وتباين 0.25. هذه شروط المثال، وليست تقديرات من تجربة.

سنقرأ موقعين جديدين كلًا على حدة: تغاير قيمة الدالة مع موقع الملاحظة 0.8 للأول و 0.2 للثاني. لا نحتاج إلى مقارنة المسافة الجغرافية بينهما، ولا نفترض أن كل موقع أقرب في الواقع يحمل هذا التغاير.

في واجهة GaussianProcessRegressor تُضاف alpha إلى قطر مصفوفة التدريب، ويمكن تفسيرها كتباين ضوضاء إضافية؛ وهي تختلف عن إدراج WhiteKernel. ^[2] حسابنا يعلن ضوضاء واحدة محددة، ولا يخلط الاسمين أو يدعي تنفيذ هذه الواجهة.

متوسطان وتباينان من ملاحظة واحدة

للمتوسط الصفري والضوضاء المفترضة، يكون متوسط الدالة عند موقع جديد k×y/(1+0.25)، وتباينها 1−k²/(1+0.25)، حيث k تغايرها مع الموقع المرصود. ^[1]

عند k=0.8، المتوسط 0.8×2/1.25=1.28، والتباين 1−0.64/1.25=0.488. وعند k=0.2، المتوسط 0.2×2/1.25=0.32، والتباين 1−0.04/1.25=0.968.

انخفاض التغاير في هذين الحسابين جعل المتوسط أقرب إلى الصفر القبلي والتباين أقرب إلى الواحد القبلي. لا نستنتج من ذلك أن القيمة الحقيقية في الموقع الثاني قريبة من صفر؛ حسبنا توزيعًا مشروطًا بافتراضات معلنة فقط.

ماذا نضيف إذا توقعنا قياسًا جديدًا؟

يفرق المرجع بين التنبؤ بالدالة الخالية من ضوضاء القياس والتنبؤ بملاحظة جديدة؛ مع ضوضاء قياس مستقلة من النموذج نفسه نضيف تباين الضوضاء إلى تباين الدالة. ^[1]

في مثالنا تصبح القيمتان 0.488+0.25=0.738 و 0.968+0.25=1.218. بقاء متوسط الضوضاء صفرًا يحفظ المتوسطين السابقين، بينما يغير مقدار التشتت في القياس المتوقع.

وصول التباين الثاني إلى أكثر من واحد ليس خطأ جمع: الواحد تباين الدالة القبلي، أما 1.218 فهو تباين قياس يتضمن الضوضاء أيضًا. وإذا تغيرت طبيعة ضوضاء القياس المقبل، فلا ننقل إضافة 0.25 دون فحص ذلك الشرط.

كيف نقرأ الأرقام دون ضمان زائد؟

الانحراف المعياري جذر التباين، فيكون للدالة في الموقعين نحو 0.699 و 0.984. كتابة 0.488 تحت عنوان الانحراف المعياري ستغير معنى الرقم حتى لو كانت عملية حساب التباين صحيحة.

لم نضبط النواة أو نُعد الملاءمة أو نختبر تغطية نطاقات على حالات فعلية. لهذا لا نسمي الناتج ضمانًا لتكرار الأخطاء بنسبة معينة، ولا نزعم أن قيمة التباين الأصغر تعني تلقائيًا نموذجًا أدق.

في تقرير عملي سجّل هل العدد تباين أو انحراف معياري، وهل يخص الدالة أو القياس، وأي ضوضاء ونواة استعملتا. بهذه الأسئلة يحتفظ رقم عدم اليقين بمعناه الحسابي بدل أن يتحول إلى وعد لا يدعمه المثال.