التحليل التمييزي التربيعي: تغاير مختلف لكل فئة

الخلاصة السريعة

تضم درجة QDA أثر تغاير الفئة ومحدده واحتمالها القبلي؛ اختلاف التغاير يسمح بحدود تربيعية، دون أن يفرض حدًا منحنيًا في كل حالة. ^[2]

• لكل فئة مصفوفة تغاير، بخلاف فرضية المصفوفة المشتركة في LDA. ^[2]
• في مثال القبليات المتساوية والمتوسط المشترك، ترجح أ عند المركز وب عند النقطة (3، 0).
• تساوي الدرجتين يرسم دائرة في أرقام المثال؛ نقاط المساواة تحتاج قاعدة لفك التعادل.
• إذا تطابقت المصفوفات، تلغى الحدود التربيعية في فرق الدرجتين؛ المرونة لا تضمن دقة أعلى. ^[2]

ماذا يتغير عندما تختلف المصفوفات؟

تتضمن الدرجة −نصف لوغاريتم محدد التغاير، ومسافة تربيعية بمعكوسه، ولوغاريتم القبلي. ^[2]

سنفترض خاصيتين س وص، وفئتين متوسطهما نفسه (0، 0). مصفوفة أ قطرية بتباين 1 لكل خاصية، ومصفوفة ب قطرية بتباين 4 لكل خاصية. التغاير بين الخاصيتين صفر في كلتيهما، والقبليات متساوية.

هذه فئتان مفترضتان لا مجموعتان قسناهما. المقارنة تعزل أثر انتشار القيم حول المركز نفسه. لا نساوي «لهما المتوسط نفسه» بعبارة «تعطيان الكثافة نفسها في كل مكان». تحديد المتوسط لا يحدد التوزيع كاملًا.

مثال: المركز والطرف لا يعطيان الاختيار نفسه

محدد مصفوفة أ هو 1، ومحدد ب هو 16. بعد حذف الأجزاء المشتركة من الدرجتين، يصبح فرق درجة ب ناقص أ: −ln(4)+(3/8)×(س²+ص²). حسبنا 3/8 من نصف الفرق بين المعكوسين 1 و 1/4.

عند المركز (0، 0)، يساوي الفرق −ln(4)≈−1.386، فدرجة أ أعلى. عند النقطة (3، 0)، يصبح −1.386+27/8≈1.989، فدرجة ب أعلى.

الحد المرتبط بالمحدد يشارك في الاختيار. إن اكتفينا بمقارنة المسافتين المعدلتين عند المركز فسنجد كليهما صفرًا، ونفوت الفرق بين كثافتي الفئتين. أما الطرف فيستفيد من انتشار ب الأوسع في هذا المثال.

كيف نقرأ دائرة تساوي الدرجتين؟

نضع فرق الدرجتين مساويًا للصفر: س²+ص²=(8/3)ln(4)≈3.697. لذلك نصف قطر الدائرة نحو 1.923. داخلها ترجح أ، وخارجها ترجح ب، في حدود هذه الفرضيات.

على المحيط تتساوى الدرجتان؛ لم نحدد أي اسم فئة يفوز بالتعادل. لا يكفي رسم نقطة فوق الخط الحدودي كي نسند لها جوابًا دون وصف قاعدة التنفيذ.

إذا تغيرت القبليات أو المتوسطات أو المصفوفات، فلا نستعمل نصف القطر نفسه. الدائرة نتيجة الأرقام المختارة، وليست قالبًا ثابتًا لكل مصنف تربيعي أو لكل زوج من الفئات.

هل كل حدود QDA منحنية؟

عندما تتساوى مصفوفتا الفئتين، تلغى الأجزاء التربيعية في فرق الدرجتين، ويصبح التعبير خطيًا في الخصائص. ^[2]

إذن يسمح النموذج بشكل تربيعي، لكن اسم QDA لا يضمن دائرة أو منحنى ظاهرًا في كل حالة. وقد تتطابق الدرجتان في حالات خاصة؛ عندئذ لا يصنع الاسم فصلًا لم يكن موجودًا في القيم.

استخدم المثال لقراءة عناصر الدرجة، ثم افحص نموذج المهمة ببيانات لم يعتمد عليها تقدير معلماته. لا نستنتج من قابلية رسم دائرة أن QDA أفضل من LDA؛ المثال يشرح شكل القرار المفترض، ولا يقدم قياسًا للأداء.