خياري العملة بنفس التنفيذ: فرق العلاوتين له شرط

في نموذجنا الصفري، شراء خيار شراء مع ⁦12⁩ ر وشراء خيار بيع مع وحدة ف يعطيان القيمة النهائية نفسها. لذلك فرق علاوة الشراء والبيع يوافق ⁦10−12=−2⁩ ر؛ علاوتا ⁦1⁩ و ⁦3⁩ متسقتان بهذا الاختبار، دون أن يحدد كل سعر منفردًا.

• المرجع المختار يربط خيارين أوروبيين بتفاصيل الأصل نفسها تحت عدم المراجحة ولأصل دون دخل. [1] نموذجنا يضيف صراحة صفر الفائدة للعملتين، والتنفيذ ⁦12⁩ ر لكل ف والموعد ت والكمية نفسها، وغياب الرسوم والفروق والضرائب والتعثر. لا نعمم نتيجته على عقد بشروط أخرى.
• نعرف فارق الشراء النهائي بأنه الأكبر من سعر النهاية ناقص ⁦12⁩ ومن صفر، وفارق البيع بأنه الأكبر من ⁦12⁩ ناقص السعر ومن صفر. عند ⁦8⁩ تكون القيمتان صفرًا و ⁦4⁩ ؛ عند ⁦12⁩ صفرًا وصفرًا؛ وعند ⁦15⁩ تكونان ⁦3⁩ وصفرًا، لكل ف واحدة.
• المحفظة أ: خيار شراء و ⁦12⁩ ر محفوظة بلا فائدة. المحفظة ب: خيار بيع ووحدة ف بلا دخل. عند أسعار ⁦8⁩ و ⁦12⁩ و ⁦15⁩ تكون قيمة كل منهما ⁦12⁩ و ⁦12⁩ و ⁦15⁩ ر؛ الفروق النقدية وصف مكافئ، لا تضاف إلى تسليم كامل سبق عده.
• في البداية، سعر ف ⁦10⁩ ر، وعلاوة الشراء ⁦1⁩ والبيع ⁦3⁩. كلفة أ ⁦13⁩ وكلفة ب ⁦13⁩ ؛ فرق العلاوتين ⁦−2⁩ يوافق ⁦10−12⁩. في فرع مستقل للشراء ⁦2⁩ والبيع ⁦3⁩ تصبح الكلفتان ⁦14⁩ و ⁦13⁩ ، فجوة واحدة تحت نموذجنا فقط.
• زوج بديل علاوتاه ⁦2⁩ و ⁦4⁩ يحافظ أيضًا على الفرق ⁦−2⁩ ، لكنه يعطي كلفة ⁦14⁩ لكل محفظة بدل ⁦13⁩. شرط الفرق وحده لا يختار زوجًا وحيدًا أو يثبت أن سعرًا منفردًا عادل؛ لا احتمالات أو تقلبات معطاة.
• عند كمية ⁦100⁩ ف متماثلة تتضاعف كل مبالغ الوحدة بمئة: علاوتان ⁦100⁩ و ⁦300⁩ ، أصل ⁦1000⁩ وتنفيذ ⁦1200⁩ ، وكلفتا المحفظتين ⁦1300⁩ ؛ النهايات ⁦1200⁩ و ⁦1200⁩ و ⁦1500⁩. استعمال كمية ⁦80⁩ ف في ب وحدها يكسر المطابقة، فيعطي ⁦960⁩ عند سعر ⁦8⁩ بدل ⁦1200⁩.
• إذا كان السعر النهائي ⁦8–15⁩ موجبًا، فقيمة المحفظتين في كل حالة هي الأكبر من ⁦12⁩ ومن السعر، ومجالها ⁦12–15⁩. لا نسمي وسط المجال قيمة متوقعة. ودون علاوة أو موعد أو كمية مطابقة لا نستعيد نتيجة الكلفة من عنوان الخيار وحده.
• عند فائدة غير صفرية أو دخل للأصل أو ممارسة مبكرة أو رسوم متباينة، تغيرت الفروض فلا ننقل فرقنا الآلي. كما لا يستبدل سعر مستقبلي السعر الفوري ⁦10⁩ في ورقتنا؛ لكل عقد ووحدة ووقت مدخلاته.

ر هي العملة التي نعبر بها عن جميع مبالغ الورقة، وف وحدة أجنبية واحدة. سعرها في البداية عشر ر لكل ف، والتنفيذ اثنتا عشرة ر لكل ف في الموعد ت. لا تمثل ر أو ف بلدًا بعينه أو سعرًا قرأناه في شاشة. نفرض أننا نستطيع إبقاء اثنتي عشرة ر حتى ت دون زيادة أو نقص بسبب الفائدة، وأن الاحتفاظ بوحدة ف لا يولد دخلًا بين التاريخين، بما يتفق مع فرضنا الصفري للعملتين.

نعرف خيار الشراء بوصفه حق الحصول على وحدة ف مقابل اثنتي عشرة ر في ت، وخيار البيع بوصفه حق تسليم وحدة ف مقابل اثنتي عشرة ر في ت. نختار أسلوب ممارسة في النهاية فقط، دون تمرين مبكر داخل الفترة. الحقان يخصان الكمية نفسها والمقابل نفسه والموعد نفسه، ثم نكتب علاوة كل منهما في ر عند البداية. لا يعطي تشابه كلمة خيار هذه المطابقة تلقائيًا لعقدين وصلتنا صفحتاهما منفصلتين.

وللمقارنة في نموذجنا نفترض إمكان تكوين المحفظتين والوفاء بهما كاملتين، بلا رسوم أو فروق أسعار أو ضرائب أو تعثر. هذه شروط تشغيل للتمرين، وليست أوصافًا لسوق حقيقي. الفكرة العامة في المرجع نطاقها محدد في الخلاصة. [1] سنستخرج من شروطنا علاقة حسابية بين علاوتين، ثم نوضح ما تبقى تلك العلاقة عاجزة عن تحديده حتى إذا نجح اختبار الجمع والطرح.

نعطي سعر نهاية مستقلًا قدره ثماني ر لكل ف. شراء ف عبر حق الشراء باثنتي عشرة لا يقدم فرقًا موجبًا مقارنة بالسعر الثماني، فيكون فارق الشراء الذي عرّفناه صفرًا. حق البيع يتيح مقابلًا أعلى بأربع ر من سعر ف المعطى، فيكون فارقه أربعًا. نتحدث عن قيم نقدية مكافئة لتفسير الحق؛ لا نفترض أن حامل البيع قبض أربعًا ثم قبض اثنتي عشرة من بيع الوحدة نفسها ويجمع المبلغين دون تحديد المورد.

عند سعر نهاية اثنتي عشرة، لا يوجد فرق موجب في أي من الحقين. فارقاهما صفر وصفر. وعند خمس عشرة ر لكل ف، يصبح فارق الشراء ثلاثًا ويكون فارق البيع صفرًا. هذه بدائل مستقلة، لا ثلاثة أيام نجمع نتائجها. لكل بديل سعره في الموعد نفسه، ولم نعط احتمال انتقال بين الأسعار أو سجلًا يبين أي واحد تحقق. سنستعملها لمقارنة محفظتين في الحالة نفسها.

يمكن كتابة الفرق بين فارق الشراء وفارق البيع في الحالات الثلاث: سالب أربع، ثم صفر، ثم ثلاث ر. وهو يطابق سعر النهاية ناقص اثنتي عشرة: ثمان ناقص اثنتي عشرة، واثنتا عشرة ناقص اثنتي عشرة، وخمس عشرة ناقص اثنتي عشرة. هذا اختبار طرفين متعاكسين، وليس صافي ربح حامل بعد علاوته. العلاوة عند البداية متغير آخر لم ندخله بعد في تعريف هذين الفارقين النهائيين.

المحفظة أ تضم حق الشراء ووحدة نقدية مقدارها اثنتا عشرة ر محفوظة حتى ت دون فائدة. عند سعر ثمان تكون قيمتها اثنتي عشرة، لأن الخيار لا يضيف فرقًا موجبًا. وعند اثنتي عشرة تبقى اثنتي عشرة، وعند خمس عشرة تضيف ثلاثًا فتصبح خمس عشرة. يفيد احتفاظنا بالمبلغ في بيان ما يملك الطرف إضافة إلى الحق؛ امتلاك خيار وحده لا يجعل قيمته مساوية لقيمة المحفظة كلها.

المحفظة ب تضم حق البيع ووحدة ف محفوظة بلا دخل. عند سعر ثمان تكون قيمة ف ثماني ر، ويضاف فرق حق البيع أربع، فالمجموع اثنتا عشرة. عند اثنتي عشرة تكون قيمة ف اثنتي عشرة وفرق البيع صفرًا؛ وعند خمس عشرة تكون ف خمس عشرة والفرق صفرًا. تعيد هذه المحفظة النتائج الثلاث نفسها، رغم اختلاف المكونات التي أنشأتها. لا نضيف اثنتي عشرة ر نقدية إلى ب مرة أخرى؛ ذلك المكون يخص أ.

وفي قراءة تسليم مكافئة للفرع المنخفض، يتيح حق البيع مبادلة ف باثنتي عشرة ر إن تمت الممارسة وفق الفرض. هذا يصف الاثنتي عشرة نفسها التي حسبناها ثماني ر زائد أربع. جمع الوصفين يعطي أربعًا وعشرين بلا مكون إضافي، لذلك نختار أحدهما لعرض النتيجة. أما في الفرع المرتفع، فإن اثنتي عشرة ر مع حق الشراء يمكن أن تقابل ف قيمتها خمس عشرة؛ لا نحسب المبلغ النقدي كاملًا مرة ثانية بعد عد الأصل الذي دفع مقابله.

نعطي عند البداية علاوة شراء واحدة ر وعلاوة بيع ثلاث ر. كلفة أ واحدة زائد اثنتي عشرة، أي ثلاث عشرة ر. وكلفة ب ثلاث زائد سعر ف عشر، أي ثلاث عشرة أيضًا. تتفق الكلفتان مع المقارنة النهائية في نموذجنا، لأننا لم نعط أثر تمويل يغير النقد بين البداية والنهاية. الفرق بين العلاوتين واحدة ناقص ثلاث يساوي سالب اثنتين، وهو سعر الأصل عشر ناقص التنفيذ اثنتي عشرة.

هذا هو ترتيب المعادلة التي يمكن استخراجها من كلفة أ وكلفة ب: علاوة الشراء زائد التنفيذ تساوي علاوة البيع زائد سعر الأصل. بنقل الحدين نحصل على فرق العلاوتين مساويًا سعر الأصل ناقص التنفيذ، ضمن الشروط المعلنة. لا نستبدل سعر النهاية ثمانيًا بالسعر الحالي عشر في هذه المعادلة؛ الأول استعمل لفحص قيم النهاية، والثاني لتكلفة تكوين ب عند البداية. تشابه وصف سعر الأصل في الموضعين يحتاج توقيته أيضًا.

وفي فرع مستقل نختار علاوة شراء اثنتين مع بقاء علاوة البيع ثلاثًا والسعر والتنفيذ كما كانا. كلفة أ أربع عشرة وكلفة ب ثلاث عشرة، مع بقاء التطابق النهائي تحت شروطنا. الفجوة واحدة ر في المثال، فتفشل مقارنة الكلفة التي نريدها في نموذج عدم المراجحة. لم نقدم عرضين يستطيع طرف تداولهما أو موارد تنفيذ أو مهلًا؛ لا تصبح هذه الفجوة تقريرًا عن فرصة فعلية شاهدناها أو مبلغ ربح قبضناه.

نضع زوجًا ثالثًا مستقلًا: علاوة شراء اثنتان وعلاوة بيع أربع. فرقاهما سالب اثنتين كما في الزوج الأول. كلفة أ أربع عشرة، وكلفة ب أربع زائد عشر أي أربع عشرة. إذن نجح اختبار مساواة الكلفتين للزوجين الأول والثالث، رغم اختلاف كل سعر منفرد فيهما. لو كانت مهمة القارئ إيجاد علاوة الشراء من سعر الأصل والتنفيذ فقط، فلن تختار هذه العلاقة إحدى الواحدة أو الاثنتين دون مدخل آخر.

عند تثبيت علاوة واحدة في نموذجنا، يمكن استخدام العلاقة لاستعادة الأخرى. إذا عرفنا الشراء اثنتين وسعر الأصل عشرًا والتنفيذ اثنتي عشرة، فإن البيع المطلوب للاختبار أربع. وإذا ثبتنا البيع ثلاثًا، كان الشراء واحدًا. هذه عملية تحقق بين قيم معطاة تحت الشروط، وليست نموذج تسعير مستقلًا يعتمد على احتمالات أسعار النهاية أو مقدار التقلب. لم نقدم تلك البيانات كي نستنتج سعرًا عادلًا أو سبب تغير العلاوة في وقت لاحق.

كما لا نساوي «فارق الشراء ثلاث عند سعر نهاية خمس عشرة» مع «العلاوة ثلاث في البداية». قد يتطابق الرقمان في ورقة ما، لكن وظيفتيهما ووقتيهما مختلفان. في الزوج الأول دفع حامل الشراء واحدة بداية، بينما فارقه النهائي في الفرع المرتفع ثلاث. وبعد فرضنا عدم وجود أثر تمويل أو تكاليف، الفرق بين التدفقين اثنتان؛ لا نسمي الفارق ثلاثًا كله ربحًا بعد طرح علاوة لم ندفعها أصلًا.

نضاعف في ورقة مستقلة كمية كل مكون إلى مئة ف، ونبقي جميع أسعار الوحدة كما كانت في الزوج الأول. علاوة الشراء للمئة مئة ر، وعلاوة البيع ثلاثمئة ر، وسعر المئة ف عند البداية ألف ر، والمبلغ النقدي في أ ألف ومئتا ر. كلفة أ ألف وثلاثمئة، وكلفة ب ألف وثلاثمئة أيضًا. لم نستعمل ألفًا ومئتين سعرًا لوحدة واحدة؛ هو مبلغ التنفيذ الكلي لكمية مئة.

في أسعار النهاية ثمان واثنتي عشرة وخمس عشرة، تكون قيمة كل محفظة ألفًا ومئتين وألفًا ومئتين وألفًا وخمسمئة ر على الترتيب. فرق الشراء عند خمس عشرة ثلاثمئة، وفرق البيع عند ثمان أربعمئة. تضاعفت جميع الكميات المتصلة بالمقارنة، ولذلك تضاعفت القيم النهائية والكلف مئة مرة. جمع نتيجتين من كميتين مختلفتين ثم تقسيم الناتج على واحدة منهما لا يعيد هذا الاختبار؛ يجب الحفاظ على المقام الذي تصفه كل علاوة وسعر.

والآن نخفض كمية ب وحدها إلى ثمانين ف مع حق بيع ثمانين، ونبقي أ مئة. عند سعر ثمان، قيمة الأصل في ب ستمئة وأربعون، وفرق البيع ثلاثمئة وعشرون، فالمجموع تسعمئة وستون ر، لا ألفًا ومئتين. اختفت المطابقة لأن المقارنة أصبحت بين كميتين مختلفتين. لا يصلح استمرار التنفيذ اثنتي عشرة والموعد نفسه لتعويض كمية مفقودة؛ نقرأ عدد الوحدات في كل مكون قبل نقل نتائج الجدول الكبير.

نعطي في فرع مستقل سعر نهاية معلوم الحدود فقط، من ثمان إلى خمس عشرة ر لكل ف، مع كامل شروط الوحدة الواحدة. في كل نقطة من هذا المجال تكون قيمة المحفظتين الأكبر من اثنتي عشرة ومن السعر. لذلك مجال القيمة اثنتا عشرة إلى خمس عشرة، مع جزء ثابت من ثمان حتى اثنتي عشرة ثم جزء يرتفع مع السعر فوقها. لا ينحصر الأمر في ثلاثة أرقام اخترناها سابقًا للجدول؛ التعبير يفسر كل قيمة داخل المجال.

لكن المتوسط الحسابي للطرفين، ثلاث عشرة فاصلة خمس، ليس قيمة متوقعة أعطيناها للمحفظة. ولم نقدم احتمالات موزعة على المجال أو أسعارًا فعلية مرصودة. كما لا نستعمل مجال قيمة النهاية للقول إن كلفة البداية لا بد أن تكون ثلاث عشرة فاصلة خمس. الكلفة الأولى حسبناها من علاوة معطاة وسعر أصل حاضر، بينما المجال يصف نتائج محتملة تحت حدود اخترناها. إنه سؤال آخر يحتاج مدخلات تختلف عن مجرد جمع الطرفين.

إذا غابت علاوة الشراء أو البيع يمكن للعلاقة، بعد إثبات الشروط والمدخلات الأخرى، حساب المقدار الموافق للاختبار. أما إذا غاب مقدار العقد أو موعده أو اختلف أصل الخيارين، فلا نملأ الفراغ من اسم شراء أو بيع. المعلومة الناقصة قد تمنع إثبات التطابق النهائي الذي بني عليه الاختبار نفسه. نسمي ما اكتمل من ورقتنا وما يحتاج وثيقة، بدل أن نكتب نتيجة عددية تحت شرط لم نتأكد أنه موجود.

الفائدة الصفرية على العملتين شرط معلن هنا؛ جعلت الاحتفاظ بالنقد والأصل بلا دخل بين البداية والنهاية سهل الوصف. إذا كانت الفائدة موجبة أو سالبة، أو دخلت رسوم حفظ أو تدفقات من الأصل، فقد تغيرت قيمة المكونات عبر الوقت. لا ننقل فرق سالب اثنتين آليًا مع الإبقاء على عناوين الورقة نفسها. لم نشتق في هذا المقال معادلة عامة لمعدلي تمويل مختلفين، ولا نحذف أثرًا مجهولًا لأن المثال الصفري أعطى جمعًا بسيطًا.

والخيار الذي يسمح بممارسة قبل ت يضيف أوقاتًا لم تكن في تعريف الحقين اللذين اخترناهما. كذلك لا نستبدل السعر الفوري عشرًا بسعر مستقبلي من شاشة أخرى؛ قد يكون رقمًا صحيحًا لذلك العقد، لكنه ليس مدخل كلفة الأصل الذي وصفناه. وحدة العقد والكمية والوقت وطريقة التسوية عناصر في المقارنة. لا يكفي تطابق الرقمين اثنتي عشرة على ورقتين لإثبات أن الأصل والموعد وبقية الحقوق متطابقة.

يحفظ سجلنا ثلاث خانات مستقلة: المكونات التي تملكها كل محفظة، كلفة تكوينها، وقيمتها في كل حالة نهاية. من ذلك أثبتنا تساوي النهايات وشرط فرق العلاوتين في نموذجنا فقط، مع بقاء أسعار منفردة متعددة ممكنة للاختبار. يستطيع قارئ الأعمال استعمال هذا التنظيم لمراجعة ورقة حساب كاملة، ثم طلب شروط أي منتج فعلي قبل المقارنة. النتيجة لا تختار صفقة أو عائدًا، وإنما تحدد لماذا لا تكون علاوتا حقين متناظرين رقمين منفصلين عن بقية المدخلات.