خلط العشر والربع: الوزن والقيمة معًا لا يحددان عدد القطع

في نموذجنا الاسمي، الديم ⁦2.268⁩ غرام والربع ⁦5.67⁩ غرام حسب المواصفات المختارة. [1] كلاهما يعطي ⁦22.68⁩ غرامًا لكل دولار حسابيًا. لذلك يمكن لعشرة دولارات و ⁦226.8⁩ غرام أن تعنيا ⁦100⁩ ديم، أو ⁦40⁩ ربعًا، أو ⁦50⁩ ديمًا و ⁦20⁩ ربعًا. معرفة العدد ⁦70⁩ ، مع الفئتين نفسيهما، تختار التركيب الأخير؛ الوزن والقيمة وحدهما لا تختارانه.

• نأخذ الكتلتين الاسميتين المدرجتين ⁦2.268⁩ للديم و ⁦5.67⁩ للربع. [1] نفترضهما تامتين في كل قطعة داخل الحساب فقط، ولا نضيف فئة ثالثة أو تغليفًا مجهولًا. النتيجة عن نموذج فئتين، وليست طريقة تحقق مادي أو حكمًا على قطعة فعلية.
• القسمة ⁦2.268⁩ على ⁦0.10⁩ ، والقسمة ⁦5.67⁩ على ⁦0.25⁩ ، تعطيان ⁦22.68⁩ غرامًا لكل دولار. لهذا تتبع الكتلة القيمة بالمعامل نفسه في أي تركيب من فئتينا داخل النموذج؛ تكرار العلاقة لا يولد معلومة ثانية عن عدد كل فئة.
• عشرة دولارات و ⁦226.8⁩ غرام تتفق مع ⁦40⁩ ربعًا، أو ⁦100⁩ ديم، أو ⁦20⁩ ربعًا و ⁦50⁩ ديم، أو ⁦26⁩ ربعًا و ⁦35⁩ ديم. الأعداد الكلية ⁦40⁩ و ⁦100⁩ و ⁦70⁩ و ⁦61⁩ مختلفة. لا نختار عددًا لأن الكتلة طابقت إجماليًا سبق أن طابقه تركيب آخر.
• مع عدد معلوم ⁦70⁩ ، تكون قيمة السبعين لو كلها ديم ⁦7⁩ دولارات. نحتاج ⁦3⁩ إضافية؛ كل استبدال لقطعة ديم بقطعة ربع يزيد ⁦0.15⁩ ، فتكون ⁦20⁩ قطعة ربع و ⁦50⁩ ديم. ومع عدد ⁦61⁩ ، نحتاج ⁦3.9⁩ فوق ⁦6.1⁩ ، فتظهر ⁦26⁩ ربعًا و ⁦35⁩ ديم.
• عدد ⁦71⁩ وقيمة ⁦10⁩ لا يتفقان تمامًا مع فئتينا: عدد الربع المحسوب ⁦19.333333⁩ ليس صحيحًا. تقريبه إلى ⁦20⁩ يعطي ⁦51⁩ ديمًا ومبلغ ⁦10.1⁩ ، وإلى ⁦19⁩ يعطي ⁦52⁩ ديمًا ومبلغ ⁦9.95⁩. لا نصحح البيانات الدقيقة بتقريب عدد القطع ثم ندعي بقاء الهدف ⁦10⁩.
• كتلة إجمالية مؤلفة ⁦250.8⁩ غرام وتغليف معلوم ⁦24⁩ تعطي ⁦226.8⁩ صافيًا، أي ⁦10⁩ دولارات مشروطة بنموذجنا، مع بقاء العدد مجهولًا. إذا أعطينا تغليفًا ⁦20⁩ بدل ⁦24⁩ في فرع مستقل، يتغير الصافي إلى ⁦230.8⁩ ؛ لا ننقل استنتاج الفرع الأول إليه.
• المبلغ ⁦10⁩ يسمح داخل النموذج بعدد ربع زوجي من صفر إلى ⁦40⁩ ؛ إذا كان عددها ⁦2⁩ ك، فالديم ⁦100−5⁩ ك والمجموع ⁦100−3⁩ ك، لك صحيح من صفر إلى ⁦20⁩. بيانات فئة ثالثة أو كتلة فعلية غير اسمية أو تغليف مجهول تحتاج نموذجًا آخر، لا استنتاجًا تلقائيًا من هذه العلاقة.

تضع ليلى أمامها ورقة حساب، لا عينة فعلية على ميزان. تعطيها الديم والربع بالفئتين والكتلتين المختارتين في الخلاصة، وتصرح أن كل قطعة في النموذج تحمل الرقم الاسمي تمامًا. [1] هذا التصريح يسمح بالمساواة العددية التي سنستعملها، لكنه لا يخبرنا عن تآكل قطع أو تفاوت ميزان أو تغليف موجود في مخزن حقيقي لم نصفه.

نسمي عدد الديم د وعدد الربع ق. كلا العددين صحيح وغير سالب، لأننا نعد قطعًا كاملة. القيمة بالدولار ⁦0.10⁩ د+⁦0.25⁩ ق، والكتلة الاسمية بالغرام ⁦2.268⁩ د+⁦5.67⁩ ق. لا نجمع د مع ق للحصول على المال قبل استخدام الفئتين، ولا نجمع الكتلة مع القيمة كما لو كانا مقدارين بالوحدة نفسها.

تحتفظ ليلى بوحدة كل عمود: عدد قطع، ودولار، وغرام. إذا ظهر الرقم ⁦226.8⁩ وحده، فلن نقرر أنه مبلغ لأنه ورد قرب عمود القيمة. نقرأ عنوانه ثم نسأل هل هو صافي قطع أم إجمالي مع تغليف. وهذا التفصيل لا يحل عدد الفئات وحده، لكنه يمنع أن ندخل مقدارًا لم يقصده المثال في معادلة الكتلة الاسمية.

ولا نقدم هذا الحساب طريقة لإثبات أن العملات حقيقية أو أن كيسًا فعليًا يحتوي هذا العدد. يمكننا تفسير ما تسمح به المدخلات داخل شروطها فقط. عندما نقول إن تركيبين لهما الكتلة نفسها، نعني أن حسابهما من المدخلات الاسمية يتساوى. صحة هذه المساواة لا تضيف مشاهدة لمحتوى كيس أو تستبدل عدًا ميدانيًا لم نعطه.

نقسم كتلة الديم ⁦2.268⁩ على قيمته ⁦0.10⁩ ، فيظهر ⁦22.68⁩ غرامًا لكل دولار. ثم نقسم ⁦5.67⁩ على ⁦0.25⁩ فيظهر المعامل نفسه للربع. نستطيع المراجعة بالضرب: ⁦22.68⁩ في ⁦0.10⁩ يعيد ⁦2.268⁩ ، وفي ⁦0.25⁩ يعيد ⁦5.67⁩. هذه نتيجة حسابية من المدخلات، وليست مواصفة إضافية وجدناها من قياس خليط مجهول على ميزان جديد.

لذلك الكتلة في معادلتنا تساوي ⁦22.68⁩ مضروبة في القيمة، أيًا كان توزيع القطع بين الفئتين. كل مساهمة فردية في القيمة تتحول إلى مساهمتها في الكتلة بالمعامل نفسه، ثم نجمع. ظهور قيمة ⁦10⁩ وكتلة ⁦226.8⁩ لا يقدم شرطين مختلفين لتحديد د وق؛ الشرط الثاني يعيد الأول بعد ضربه في معامل معلوم.

لو حاولت ليلى حذف عدد الديم من المعادلتين، فستجد أن الباقي يلغي عدد الربع أيضًا حين تتفق الكتلة مع القيمة. لا تخرج ق=⁦0⁩ من هذا الإلغاء؛ تخرج مساواة لا تميز تركيبًا عن آخر. كون معادلتين مكتوبتين في سطرين لا يضمن أنهما تحملان معلومتين مستقلتين عن مجهولين، خصوصًا إذا أمكن اشتقاق إحداهما من الأخرى بالكامل.

ولا نسمي هذا نقصًا في دقة العرض نعالجه بخانات عشرية أكثر. المدخلات نفسها أعطت تناسبًا تامًا في نموذجنا. تغيير عدد الخانات المعروضة لا يجعل النسبتين مختلفتين، وتكرار وزن اسمي محسوب لا يعطينا عدًا جديدًا. نحتاج معلومة مستقلة عن التركيب، مثل عدد القطع الكلي المعلوم، بدل إعادة وصف العلاقة نفسها بوحدة أخرى.

نحدد مبلغًا ⁦10⁩ دولارات. في تركيب كله ربع، نحتاج ⁦40⁩ قطعة، وكتلتها ⁦40⁩ في ⁦5.67⁩ ، أي ⁦226.8⁩ غرام. وفي تركيب كله ديم، نحتاج ⁦100⁩ قطعة، وكتلتها ⁦100⁩ في ⁦2.268⁩ ، فتعود ⁦226.8⁩. هذان تركيبان مختلفان جذريًا في العدد، لكنهما يحققان المبلغ والكتلة في النموذج المعلن من دون أي تغليف أو تقريب.

نعطي تركيبًا ثالثًا: ⁦20⁩ ربعًا و ⁦50⁩ ديمًا. الربع قيمته ⁦5⁩ دولارات وكتلته ⁦113.4⁩ ، والديم قيمته ⁦5⁩ وكتلته ⁦113.4⁩ أيضًا. المجموع ⁦10⁩ دولارات و ⁦226.8⁩ غرام، وعدد القطع ⁦70⁩. تماثل كتلة جزأي هذا التركيب جاء من تساوي قيمتيهما والمعامل المشترك، لا من تساوي عدد القطع؛ العددان ⁦20⁩ و ⁦50⁩ مختلفان بوضوح.

وفي تركيب رابع، ⁦26⁩ ربعًا و ⁦35⁩ ديمًا. الأول ⁦6.5⁩ دولارات و ⁦147.42⁩ غرام، والثاني ⁦3.5⁩ دولارات و ⁦79.38⁩ غرام. جمعهما يعيد ⁦10⁩ و ⁦226.8⁩ ، بينما العدد ⁦61⁩. يستطيع القارئ مقارنة هذا الفرع بالسبعين قطعة من دون البحث عن خطأ في الكتلة؛ اختلاف التركيب مقصود، ولم نعط معلومة تختار أحد الفرعين بوصفه الموجود فعلًا.

إذا قالت بطاقة ليلى «القيمة ⁦10⁩ ، والكتلة ⁦226.8⁩»، فلا يجوز أن تنسخ العدد ⁦70⁩ من المثال الأقرب في الشكل. يعرض الرسم تراكيب ممكنة تحت شروطنا، لا احتمالات متساوية لوقائع فعلية. لم نعط توزيعًا عشوائيًا أو تكرارًا تاريخيًا لأي تركيب، ولذلك لا نستخرج متوسط عدد متوقع من الأربع حالات أو وعدًا بأن عدًا فعليًا سيقع قربه.

نضيف الآن إلى بطاقة المبلغ ⁦10⁩ أن عدد القطع ⁦70⁩ معلوم تمامًا، والفئتان فقط كما في النموذج. لو كانت كلها ديمًا، لبلغت ⁦7⁩ دولارات. ينقص هذا عن الهدف ⁦3⁩ دولارات. كل استبدال لقطعة ديم بقطعة ربع يبقي عدد القطع ⁦70⁩ ويزيد القيمة ⁦0.15⁩ دولار، لذلك نحتاج ⁦20⁩ استبدالًا: عشرون ربعًا وخمسون ديمًا.

نراجع المبلغ ⁦5⁩ زائد ⁦5⁩ ، ثم العدد ⁦20⁩ زائد ⁦50⁩ ، ثم الكتلة ⁦113.4⁩ زائد ⁦113.4⁩. تتفق النتائج مع ⁦10⁩ و ⁦70⁩ و ⁦226.8⁩. لم يصبح الوزن هو الذي اختار التركيب؛ العدد الجديد، مع القيمة والفئتين، فعل ذلك. نستعمل الكتلة هنا مراجعة لاتساق الحساب الاسمي الذي أتممناه، ونحفظ الفرق بين معلومة مستقلة وبين نتيجة كانت متضمنة أصلًا.

وفي بطاقة مستقلة ذات عدد ⁦61⁩ ومبلغ ⁦10⁩ ، تكون قيمة ⁦61⁩ ديمًا ⁦6.1⁩ دولار. الباقي ⁦3.9⁩ يقسم على ⁦0.15⁩ ، فيعطي ⁦26⁩ ربعًا، والديم ⁦35⁩. يظهر التركيب الرابع السابق بالضبط لأننا أعطينا عدد ⁦61⁩ ، لا لأننا غيرنا الكتلة. وينبغي ألا نضع ⁦61⁩ و ⁦70⁩ معًا في بطاقة واحدة بوصفهما مشاهدتين مؤكّدتين للمجموعة نفسها في الوقت نفسه.

يمكن كتابة الحساب العام لعدد معلوم ن: عدد الربع هو(⁦10−0.10⁩ ن) مقسومًا على ⁦0.15⁩ ، ثم عدد الديم ن ناقص عدد الربع. لا يكفي أن يعطي التعبير قيمة موجبة؛ نطلب عددين صحيحين وغير سالبين. إذا أخفق أحد الشرطين، فقد لا تتفق البيانات مع نموذجنا، ولا نملأ الخانة بقطعة كسرية لا وجود لها في عد القطع الكاملة.

نعطي في اختبار مستقل عدد ⁦71⁩ مع المبلغ ⁦10⁩ ، ونحافظ على الفئتين دون تغيير. قيمة الكل لو ديم ⁦7.1⁩ ، والباقي ⁦2.9⁩. قسمة ⁦2.9⁩ على ⁦0.15⁩ تعطي ⁦19.333333⁩ تقريبًا. هذه نتيجة جبرية لكنها لا تحقق عد القطع الكامل، ولذلك لا يوجد تركيب تام بالمدخلات المذكورة. لا تعني النتيجة أن هناك ثلث قطعة فعلًا ينتظر عدًا أفضل.

لو قرّبنا عدد الربع إلى ⁦20⁩ ، بقي ⁦51⁩ ديمًا كي نحافظ على العدد ⁦71⁩. المبلغ ⁦5⁩ زائد ⁦5.1⁩ ، أي ⁦10.1⁩ ، والكتلة ⁦229.068⁩ غرام. عدلنا بذلك الهدف المالي والكتلة التابعة له، حتى لو أبقينا عنوان البطاقة ⁦10⁩. لا يصح عرض هذا الفرع حلًا للبيانات الأصلية؛ هو تركيب قريب من حيث المال لكنه يخالف مساواتها الدقيقة.

ولو اخترنا ⁦19⁩ ربعًا، بقي ⁦52⁩ ديمًا. المبلغ ⁦4.75⁩ زائد ⁦5.2⁩ ، أي ⁦9.95⁩ ، وكتلته ⁦225.666⁩. مرة أخرى العدد ⁦71⁩ صحيح، لكن القيمة ليست ⁦10⁩. لا نجمع الفرعين في متوسط يتيح قطعة مكسورة ثم ندعي أن المحتوى المادي صار متسقًا. كما لا نستنتج من الفرق وحده أي مدخل كان خاطئًا؛ المدخلات المعطاة لا تتفق، والسبب لم يعط.

تكتب ليلى نتيجة الاختبار بصيغة واضحة: لا يوجد حل كامل ضمن الفئتين والعدد والمبلغ المحددين. قد يحتاج سجل فعلي مراجعة عدد أو فئة أو قياس، لكننا لم نشاهد هذا السجل كي ننسب الخطأ إلى خانة بعينها. تمنع هذه العبارة أن تتحول عملية تقريب بريئة في العرض العشري إلى تغيير خفي في عدد القطع وقيمة الهدف.

نفتح فرعًا مستقلًا فيه كتلة إجمالية مؤلفة ⁦250.8⁩ غرام، ونعطي كتلة تغليف ⁦24⁩ غرامًا. طرح ⁦24⁩ يعطي ⁦226.8⁩ صافي القطع. إذا حفظنا نموذج الفئتين والكتلتين الاسميتين التامتين، كان المبلغ الموافق ⁦10⁩ دولارات. لكن عدد القطع ما زال غير محدد؛ إزالة التغليف صححت مقدارًا دخل معادلة الكتلة، ولم تضف معلومة مستقلة عن تركيب الفئتين.

التغليف هنا مدخل معلوم في الورقة، لا قيمة قدرناها من شكل الكيس. لو بقي مجهولًا، لما عرفنا صافي الكتلة من الإجمالي وحده. ولا نعتبر إجمالي ⁦250.8⁩ وزن عملات مباشرة لمجرد أن المطلوب مال؛ فهذا يتجاهل المدخل الذي وصفناه صراحة. تحتفظ ليلى بعمودين للإجمالي والتغليف وبثالث للصافي الناتج، بدل جمع أرقام من مستويات مختلفة.

وفي بديل منفصل، نعطي التغليف ⁦20⁩ مع الإجمالي نفسه، فيصبح الصافي ⁦230.8⁩. قسمة هذا على ⁦22.68⁩ تعطي نحو ⁦10.176366843⁩ دولار. ليست هذه قيمة ⁦10⁩ ، ولا نختار عشر دولارات لأنها توافق الفرع السابق. كذلك لا يدّعي هذا العرض العشري تركيبًا صحيحًا من قطع كاملة؛ نحتاج اختبار قيود الفئات والأعداد قبل وصفه محتوى ممكنًا في النموذج الدقيق.

لا نستخدم الفارق بين التغليفين لتحديد أيهما الصحيح في الواقع. لقد اخترناهما في فرعين مستقلين كي نبين أثر المعطى على الصافي. من يعمل بميزان فعلي يحتاج بيانات قياسه والفئات الموجودة وما يحيط بها، ولم نقدمها هنا. الاستنتاج الشرطي عن الكتلة الاسمية يظل مفيدًا لقراءة الورقة، مع بقاء حدوده ظاهرة بدل إخفائها خلف رقم مقرب.

يمكن مراجعة تراكيب العشرة دولارات بالسنتات: ⁦25⁩ ق+⁦10⁩ د=⁦1000⁩. العدد ق يجب أن يكون زوجيًا كي يبقى د صحيحًا، فنكتب ق=⁦2⁩ ك. يصبح د=⁦100−5⁩ ك، والعدد الكلي ⁦100−3⁩ ك. ك عدد صحيح من صفر إلى ⁦20⁩ ، لكي يبقى العددان غير سالبين. هذه طريقة لحصر الإمكانات، لا تكرار لتوزيع احتمالي لم نعطه.

عند ك=⁦0⁩ نجد ⁦100⁩ ديم، وعند ك=⁦10⁩ نجد ⁦20⁩ ربعًا و ⁦50⁩ ديمًا والمجموع ⁦70⁩ ، وعند ك=⁦13⁩ نجد ⁦26⁩ ربعًا و ⁦35⁩ ديمًا والمجموع ⁦61⁩ ، وعند ك=⁦20⁩ نجد ⁦40⁩ ربعًا وحدها. بين هذه الحالات تتحرك الأعداد الكلية بثلاث قطع في كل خطوة. لذلك تقع ⁦71⁩ خارج هذه السلسلة، لا بسبب ضعف الوزن، بل بسبب قيد العدد والقيمة مع الفئتين.

إذا أضفنا فئة ثالثة، أو غيرنا الكتل من الاسمية التامة إلى قياسات فعلية، لم يعد لدينا النموذج نفسه. لا نحكم مسبقًا كيف ستتغير المعادلات من دون إعطاء المدخلات الجديدة. وكذلك لا ننقل ⁦22.68⁩ إلى معدن آخر أو فئة أخرى لأن الوحدة ما زالت غرامًا لكل دولار؛ التشابه في اسم الوحدة لا يثبت تماثل المعامل أو شروطه.

تنهي ليلى الورقة بما تعرفه وما لا تعرفه: قيمة وكتلة متوافقتان لا تختاران عددًا في هذا النموذج، وعد معلوم قد يختار تركيبًا إذا حقق قيود القطع الكاملة. يقرأ صاحب العمل النتيجة مع نطاقها، فيطلب معلومة مستقلة حين يحتاج عدًا محددًا، ويحفظ التغليف والفئات والقياس منفصلة بدل الحصول على إجابة واحدة من بيانات لا تحددها.