أبعاد مفصلة الباب: طول الجسم وقطره وقطر المحور

طول الجسم وقطره وقطر الدبوس وسمك المادة قياسات مختلفة. [1] في نموذجنا المؤلف نعطي 110 و24 و12 و4 مليمترات لهذه الخانات بالترتيب. لا تحدد هذه الأعداد تجويفًا لم نعطه، ولا تجعل فروق مقطع آخر سمكًا للصفيحة. تطابق المعلومات المتاحة لا يثبت ملاءمة التجميع أو تحمله.

• كل أرقام الحالات التالية مؤلفة وبالمليمتر، والقياسات تخص رسومات مثالية بشروط صريحة؛ لم ننفذ اختبارًا أو نعط مواصفات تثبيت.
• ألف يحمل الطول مئة وعشرة، والقطر الخارجي أربعة وعشرين، والدبوس اثني عشر، وسمك الصفيحة أربعة. باء يبقي الطول ويجعل القطر الخارجي ستة وعشرين؛ موافقة الطول لا تطابق كل الأبعاد.
• في أسطوانة مثالية مؤلفة أعطينا قطر تجويف أربعة عشر مع خارج أربعة وعشرين؛ فرق نصفي القطر خمسة. أما نصف فرق الخارج والدبوس فستة، وليس خمسة ولا سمك الصفيحة أربعة.
• في فرض محوري متراكز، قطر التجويف أربعة عشر والدبوس اثنا عشر يعطيان فرقًا قطريًا اثنين وشعاعيًا واحدًا. لا يثبت ذلك سماحًا مقبولًا أو عمل مفصلة حقيقية.
• طلبنا الحسابي طولًا من مئة وثمانية إلى مئة واثني عشر، وقطرًا من ثلاثة وعشرين إلى خمسة وعشرين، مع دخول الأطراف؛ ألف يوافق الاثنين وباء يوافق الأول فقط. هذه حدود تعليمية. وفي قائمة مستقلة ذات قيم صحيحة من 108 إلى 116 ومن 23 إلى 26، يقبل الشرطان 15 زوجًا، وواحدة على الأقل 32؛ استبعاد طرفي المجال الأول في الطلب الأصلي يخفض المقبول معًا إلى 9.
• زيادة طول الأسطوانة المثالية مع ثبات مقطعها تغير حجمها الهندسي، لا تعطي تلقائيًا حملًا مسموحًا. وعدد الثقوب لا يحدد وحده المسافة بين مراكزها أو طول جسمها.
• رقم واحد دون عنوان، أو مجموع أطوال من خانات مختلفة، لا يعيد بيانًا كاملًا. ولا نحسب قطر التجويف من قطر الدبوس ما لم نعط العلاقة المطلوبة صراحة.

قد يمتد سهم على الاتجاه الطويل، بينما يقطع آخر اتجاهًا عرضيًا، ويخص ثالث عنصرًا داخليًا. الوحدة المشتركة لا تجعلها قابلة للاستبدال: هي تحدد كيف نعبر عن القياس، ولا تحدد أين يقع.

لنسم الاتجاه الذي يمتد عليه جسم نموذجنا «الطولي». الطول مسافة بين نهايتين على ذلك الاتجاه في الرسم الذي اخترناه. أما القطر الخارجي فهو بُعد عبر المقطع في أسطوانتنا المثالية. اتجاه القياسين مختلف، لذلك لا نضع مئة وعشرة بدل أربعة وعشرين داخل حساب يخص المقطع لمجرد أن كليهما عدد بالمليمتر. تغيير اسم الخانة يغير السؤال قبل أي عملية حسابية.

الدبوس 12 معطى مستقل؛ لا تحدده الصورة أو بقية البيانات. غياب الرقم في الملف نقص معلومات، وليس غيابًا في القطعة.

نستعمل الرسم الأصلي لتوضيح الفروض؛ لا يمثل تصميمًا تصنيعيًا ولا يملأ معلومات عن مادة أو تركيب لم نعطها.

نعطي أربع بطاقات مؤلفة في الجدول، كلها بالمليمتر. نثبت خانتين ونغير الأخريين على نحو مستقل، كي يظهر الاتفاق الجزئي قبل تفسيره. تختلف باء عن ألف بمقدار اثنين في الخانة المعدلة، وجيم بمقدار ستة، بينما يجمع دال التعديلين.

إذا كان السؤال عن الطول وحده، اتفقت ألف وباء؛ وعن القطر وحده اتفقت ألف وجيم. أما طلب تطابق الخانات الأربع فلا يقبله إلا ألف عند مقارنته بنفسه. جمع الزيادتين إلى ثمانية لا يحفظ موضع كل منهما، ولا يصنع وصفًا هندسيًا كافيًا. العدد الأكبر في خانة لا يمنح البطاقة رتبة أعلى في كل استعمال.

قد يفيد جدول الخانات في بيان هذا الاتفاق الجزئي قبل طلب تفسيره الفني. لكنه لا يمنح حكمًا بأن إحدى الحالات قابلة لتركيب مكان الأخرى. لم نعط بقية تفاصيل التجميع أو الرسومات أو شروط الباب. من الإنصاف أن نقول «اتفق الطول واختلف القطر» عندما هذا هو الذي اختبرناه، بدل أن نحول العبارة إلى موافقة كاملة تحمل أسماء لم نفحص معلوماتها.

نضيف إلى النموذج قطر تجويف 14، مستقلًا عن بيان الدبوس 12. في أسطوانة مثالية متراكزة خارجها 24، نحسب نصف الفرق: 12 ناقص 7 يساوي 5 مليمترات. يفترض الحساب مركزًا مشتركًا وشكلًا دائريًا، ولا يصف كل موضع في قطعة فعلية.

استبدال 14 بالعدد 12 يجعل نصف الفرق 6؛ تغيرت حدود المسألة. لم نفترض أن الدبوس يملأ الفراغ، فلا نعيد الستة جوابًا عن العلاقة الأولى. كذلك يبقى سمك الصفيحة 4 معطًى مستقلًا، وليس نتيجة ملزمة لأي من العمليتين.

إذا حذفنا البيان الداخلي المطلوب، فلا تحدد بقية البيانات نتيجة واحدة: تجويف 14 يعطي 5، وتجويف 16 يعطي 4 مع ثبات الخارج 24. هذان فرضان للتفسير، وليسا اقتراحًا لأبعاد تجميع مقبولة. نقص البيانات يمنع استعادة نتيجة وحيدة، حتى لو بدا أحد الأعداد مألوفًا من الرسم السابق.

يبين الجدول الفرق الكامل ونصفه في فرعين متراكزَين مؤلفين، والمقادير بالمليمتر. في الأول، جهتان متقابلتان كل منهما واحد تجمعان إلى اثنين. وفي الثاني، جهتان كل منهما اثنان تجمعان إلى أربعة. اكتب اسم النتيجة قبل نقلها إلى خانة أخرى؛ تكرر العدد اثنين بين الصفين لا يجعل معناه واحدًا.

التمركز فرض في الرسم، وليس نتيجة اختبار حركة أو تحميل. لا نسمي الفرق سماح تصنيع أو خلوصًا موصى به، ولم نعط علاقة للأداء أو متطلبات خدمة. تحويل المسافة إلى قرار عملي يحتاج بيانات المنتج والاستعمال، ولا تكمله دقة العرض أو اسم القياس وحده.

نضع طلبًا تعليميًا لا يخص منتجًا: طول من مئة وثمانية إلى مئة واثني عشر، وقطر خارجي من ثلاثة وعشرين إلى خمسة وعشرين، مع دخول الأطراف. ألف يوافق الاثنين، وباء يوافق الطول فقط، وجيم يوافق القطر فقط، ودال لا يوافق أيًا منهما. الحكم المركب بالموافقة للخانتين يخص ألف وحده. لا تعوض الموافقة في اتجاه عن مخالفة الاتجاه الآخر الذي سماه الطلب.

إذا بدلنا الطلب إلى موافقة واحدة على الأقل، دخلت ألف وباء وجيم. لم تتغير قياساتها، بل تغير الربط بين شرطين. ولو اقتصر السؤال على الطول، عادت ألف وباء على جانب واحد من المقارنة. هذه النتائج متسقة لأنها تخص ثلاثة طلبات، وليس لأنها قدمت ثلاثة أحكام متناقضة عن مادة واحدة. من المفيد كتابة صيغة الطلب قبل ترتيب الحالات على أساسها.

ونختار هاء بطول مئة وثمانية وقطر خمسة وعشرين. تدخل في الطلب الشامل لأن حدوده صرحت بدخول الأطراف. إذا غيرنا شرط الطول إلى أكبر من مئة وثمانية وأقل من مئة واثني عشر، خرجت هاء من ذلك الشرط الجديد. لا نحذف كلمة «شامل» أو نضيفها بعد الحساب؛ اختلاف الحد يغير السؤال نفسه. لم ننسب هذه المجالات إلى تسامح رسم حقيقي أو دقة قراءة ميدانية.

كذلك لا نقرب طول مئة واثني عشر وواحد من مئة إلى مئة واثني عشر ثم نقول إنه دخل في المجال الأصلي. المدخل الأول أعلى الحد الذي اخترناه. يمكننا عرض الرقم بتقريب معلوم، لكن حكمًا على قيمة دقيقة يحتاجها كما عرفناها. لا توجد في المثال قواعد قبول قياسات أو سماح عدم يقين، فلا نصنعها من عملية العرض. المفصل الحقيقي يحتاج مرجعه الفني الخاص، وليس حدود التمرين.

ولفحص الطلب نفسه من زاوية العد، نؤلف قائمة أوسع ذات قيم صحيحة فقط: الطول من 108 إلى 116، والقطر من 23 إلى 26، وكل القيم بالمليمتر. تسعة اختيارات في الخانة الأولى وأربعة في الثانية تعطي ستة وثلاثين زوجًا. هذه إمكانات جدولنا، وليست عينة من منتجات السوق ولا توزيعًا للاحتمالات. تحت شرطنا الشامل السابق، توجد خمس قيم مقبولة في الأولى وثلاث في الثانية؛ لذلك يوافق الشرطين خمسة عشر زوجًا. وإذا اشترطنا واحدة على الأقل، نعد عشرين زوجًا من جهة الأولى، وسبعة وعشرين من جهة الثانية. الجمع المباشر يعطي سبعة وأربعين، لكنه كرر الأزواج الخمسة عشر التي تحقق الجهتين؛ طرحها يعيد اثنين وثلاثين. الأربعة الباقية تخص القيم الأربع الأعلى في الأولى مع القيمة الوحيدة الخارجة في الثانية. لا نستخرج هذه الأعداد من البطاقات الأربع الأولى وحدها؛ أضفنا مجالًا جديدًا وصرحنا بأن القائمة تحوي جميع أزواجه. ولو سمحنا بأي كسور بدل الأعداد الصحيحة، لم تعد القائمة المحدودة نفسها، فلا ننقل إليها عدد الأزواج كما هو.

وفي القائمة الصحيحة نفسها، تغيير حدود الخانة الأولى إلى أكبر من 108 وأقل من 112 يبقي ثلاثة اختيارات بدل خمسة. مع الاختيارات الثلاثة المقبولة في الأخرى يصير العدد تسعة بدل خمسة عشر. نقصت ستة أزواج، موزعة على قيمتي الطرف اللتين أخرجناهما، لكل منهما ثلاثة شركاء. يمكن مراجعة العد بتسجيل الأزواج المقبولة أولًا، ثم عدها مرة أخرى حسب الخانة الأخرى؛ يجب أن يعطي الاتجاهان العدد نفسه. إذا اختلفا فابحث عن زوج مكرر أو طرف أدخلته رغم شرط الاستبعاد. أما إضافة خط أو لون إلى الجدول فلا تغير قائمة الأعداد التي عرّفناها. الغرض هو جعل سبب الحكم قابلاً للتتبع في البيانات، قبل تحويل النتيجة إلى وصف عام بأنها أفضل أو أسوأ.

ومن عدد الأزواج المقبولة وحده لا نستعيد القائمة التي أنتجته. لو أخبرتنا ورقة أن المقبول خمسة عشر، دون أسماء القيم أو عدد الخيارات في كل جهة، بقي أكثر من توزيع ممكن: خمسة في ثلاثة، أو ثلاثة في خمسة، أو واحد في خمسة عشر. هذه قوائم مختلفة تتفق في حاصل الضرب. أما إذا صرحت الورقة بأن كل اختيار من جهة يقترن بكل اختيار من الأخرى، وأن الثانية تحوي ثلاثة، فإن خمسة عشر مقسومة على ثلاثة تستعيد خمسة في الأولى. الشرطان اللذان سمحا بالاستعادة معلومان هنا، وليسا نتيجة استخرجناها من الرقم النهائي. وإذا كانت بعض الاقترانات ممنوعة في قائمة أخرى، فلا نستخدم القسمة نفسها لاستنتاج عدد خياراتها قبل أن نعرف تلك القيود. نحتاج تعريف الجدول، لا كثرة الصفوف وحدها.

نعطي أسطوانة مثالية مصمتة قطرها عشرون وطولها مئة. نصف القطر عشرة، ومساحة مقطعها مئة في العدد ط، وحجمها عشرة آلاف في ط مليمتر مكعب. لو زاد الطول إلى مئة وعشرين مع ثبات المقطع، صار الحجم اثني عشر ألفًا في ط. النسبة الجديدة إلى القديمة ستة أخماس؛ زاد الحجم الهندسي عشرين بالمئة في الجسم المثالي الذي اخترناه.

لكن هذا لا يجعل الحمل المسموح يزيد عشرين بالمئة. لم نقدم علاقة للأداء أو خصائص مادة أو شروط باب أو تركيب. العلاقة التي استعملناها لحجم الأسطوانة لا تجيب سؤال التحمل. اختلاف نوع السؤال أهم من احتفاظه بكلمة «أكبر». يمكن أن يكون الحساب كاملًا وصحيحًا، ومع ذلك يكون الاستنتاج التالي خارج البيانات التي جعلته ممكنًا في البداية.

وفي فرع ثالث نثبت الطول مئة ونزيد القطر من عشرين إلى ثلاثين. مساحة المقطع تصبح مئتين وخمسة وعشرين في ط بدل مئة في ط، والحجم الجديد اثنان وربع من القديم. نسبة القطر وحده واحد ونصف، وهي غير نسبة المساحة. لم نضرب الطول في نسبة القطر بدل تربيع نصفه في المسألة التي عرفناها. هذا تمرين علاقة هندسية، لا طريقة تقدير قدرة مفصلة أو مقارنة أدائها.

ولا يكفي عدد الثقوب لاستكمال أي من هذه الأبعاد. خمس فتحات قد توزع بمسافات مختلفة ضمن رسومات مؤلفة، وعددها لا يحدد المراكز. لو أعطينا أربع مسافات متعاقبة قيمتها عشرون، كان فاصل أول مركز وآخر ثمانين. ولو جعلناها خمسة وعشرين، صار مئة مع بقاء خمس فتحات. معرفة العدد لا تختار التوزيع؛ وأي نهاية خارج المراكز تحتاج بعدًا إضافيًا لم نعطه.

رقم 110 بلا عنوان لا يثبت ما الذي قيس. ولا تعيد أربعة أعداد مجموعها 150 توزيع القيم أو مواضعها؛ اسم كل عمود يحدد ما يمكن إسناده إليه.

يمكن مقارنة ما وصل بوضوح مع مثيله في بيان آخر، مع إبقاء ما غاب مجهولًا. سمّ ما اتفق وما اختلف وما لم نعرفه؛ فلا تجعل المقارنة مستحيلة كلها أو مكتملة كلها بسبب توافر بعض المعلومات.