احتمال قبول الدفعة: القاعدة نفسها ونتائج عينات مختلفة

في الدفعة المؤلفة من أربع وحدات، إذا كانت وحدة واحدة معيبة وسحبنا وحدتين عشوائيًا دون إرجاع، فإن قبول العينة بشرط عدم ظهور أي معيب يحدث في ثلاث عينات من ست، أي باحتمال 1/2. لا يعني قبول عينة محددة أن الدفعة بلا عيب. وتغيير عدد القبول إلى واحد يجعل العينات الست مقبولة في هذه الحالة، دون تغيير الوحدات نفسها.

• خطة القبول المفردة تحدد حجم العينة n وعدد القبول c؛ نرفض إذا تجاوز المعيب المشاهد c. [1] نفترض هنا كشفًا صحيحًا لكل وحدة مسحوبة، ونفصل القرار المشاهد عن احتمال القرارات قبل السحب.
• الوحدات أ وب وج ود متميزة، والسحب دون إرجاع. نفترض تساوي احتمال الأزواج الستة غير المرتبة: أ ب، أ ج، أ د، ب ج، ب د، ج د. عكس ترتيب الزوج لا يصنع عينة إضافية في حسابنا.
• مع n يساوي 2 و c يساوي صفرًا، تكون احتمالات القبول عندما يكون العدد المعيب D من صفر إلى أربعة: 1 و 1/2 و 1/6 وصفر وصفر. شرط معرفة D وتساوي فرص العينات جزء من هذه النتائج.
• مع n يساوي 2 و c يساوي 1، تصبح الاحتمالات للعدد المعيب نفسه: 1 و 1 و 5/6 و 1/2 وصفر. تغيرت قاعدة القرار؛ لم تصلح الوحدات المعيبة ولم يتغير عددها بمجرد قبولها.
• في فرع مستقل، مع وحدة معيبة واحدة و n يساوي 3 و c يساوي صفرًا، توجد أربع عينات ممكنة تقبل واحدة منها فقط؛ الاحتمال 1/4. زيادة العينة هنا خفضت احتمال القبول مقارنة بالسحب الثنائي.
• قبول الزوج ب ج عندما تكون أ وحدها معيبة ينسجم مع نسبة معيبة معلومة 25% في الدفعة. واحتمال قبول 50% يخص تكرار آلية القرار المفترضة؛ ليس نسبة الوحدات الجيدة أو تقديرًا جديدًا من العينة.
• إذا جهلنا D، فلا نختار احتمالًا دقيقًا من الجدول. وإذا تغير الإرجاع أو فرص السحب أو دقة الكشف، تتغير المسألة. الرسم نقاط للعدد المعيب الصحيح من صفر إلى أربعة؛ لا نمثل عددًا كسريًا من الوحدات. وإذا أعطي D بين صفر واثنين، فللخطة الثنائية وعدد قبول صفر احتمالات شرطية من سدس إلى واحد؛ لا متوسط تلقائي أو فرص معطاة لقيم D.

نعطي للمفتشة هدى بطاقة فيها عدد الوحدات المطلوب سحبها، وهو اثنتان، والحد المقبول للمعيب المشاهد، وهو صفر في الخطة الأولى. تفحص هدى الوحدتين فقط. إذا لم تر معيبًا، يكون قرار البطاقة القبول؛ وإذا رأت واحدة معيبة أو اثنتين، يكون قرارها الرفض. لا تحتاج لتنفيذ هذا القرار معرفة نتيجة فحص الوحدات التي بقيت خارج العينة.

أما سؤال احتمال القبول، فيحتاج وصفًا لآلية السحب وحالة الدفعة. نحن لا نسأل بعد الفحص إن كانت النتيجة مقبولة، بل نسأل قبل السحب كم عينة ممكنة ستنتهي إلى القبول تحت الفروض المعلنة. جواب السؤال الثاني عدد بين صفر وواحد، وجواب الأول قرار يخص وحدات مسحوبة فعلًا.

يستخدم المصدر مفهوم الخطة المفردة لهذا القرار، ويصف احتمال القبول في منحنى يربطه بالنسبة المعيبة. [1] لا ننقل أمثلته أو قيمًا مقترحة لأحجام التفتيش. أربع وحدات اختيار تعليمي يجعل الحصر كاملًا، ويسمح للقارئ بمراجعة العد من أسماء الوحدات، دون الاعتماد على جدول كبير أو تقريب يخفي طريقة الحساب.

نثبت أيضًا دقة التصنيف: كل وحدة في مثالنا سليمة أو معيبة بمعيار معلوم، والفحص يكشف حالتها دون خطأ. ليس هذا استنتاجًا عن أداة فحص حقيقية. لو أخطأت الأداة في تصنيف بعض الوحدات، لاحتجنا بيانات أخرى تصف الخطأ؛ لا يمكن أن ننسب الاحتمالات التالية إلى عملية مختلفة بمجرد الاحتفاظ بالعدد اثنين.

نسمي الوحدات أ وب وج ود، ونختار وحدتين مختلفتين. الأزواج الممكنة هي أ ب وأ ج وأ د وب ج وب د وج د. لا يوجد زوج أ أ، لأننا لا نعيد الوحدة المسحوبة إلى الدفعة. ولا نضع ب أ صفًا جديدًا بجانب أ ب، لأن نتيجة الفحص تعتمد على الوحدتين لا ترتيب وصولهما.

يمكن تنفيذ الفرض بآلية تختار بالتساوي كل ترتيب من وحدتين مختلفتين: لكل اختيار أول ثلاثة اختيارات ثانية، فيكون عدد الترتيبات اثني عشر. كل زوج غير مرتب يظهر مرتين، ولذلك فرصته اثنتان من اثنتي عشرة، أي سدس. بهذا الفرض تكون قسمة عدد الأزواج المقبولة على ست طريقة صحيحة لحساب الاحتمال.

لا يلزم أن تكون الوحدات متطابقة حتى نسمي السحب عشوائيًا؛ يلزم هنا تساوي فرص الأزواج. اختلاف الحالة بين سليم ومعيب هو ما ندرسه أصلًا. لكن اختيار وحدتين قريبتين من باب الصندوق دائمًا لا يثبت هذا التساوي. إذا عرفت هدى أن زوجًا أسهل وصولًا من آخر، فإن عد الصفوف دون أوزان ليس وصفًا كافيًا لفرص السحب.

يفصل جدولنا اسم العينة عن حالتها وعن القرار في الخطتين. عندما نجعل أ وب معيبين، نقول ذلك قبل الحساب، ثم نضع عدد المعيب في كل زوج. لا نغيّر هويات المعيب من صف إلى آخر لنحصل على النتيجة المرغوبة؛ الدفعة واحدة في هذا الجدول، والذي يتبدل هو الزوج المسحوب منها.

إذا كان العدد المعيب D صفرًا، فكل الوحدات سليمة، وكل الأزواج الستة تخلو من المعيب؛ احتمال القبول واحد. وإذا كان D واحدًا، ولتكن الوحدة أ، فإن الأزواج أ ب وأ ج وأ د تحتوي المعيب وترفض. تقبل ب ج وب د وج د، فتكون ثلاثة أزواج من ستة، أو نصف العينات الممكنة.

عندما يكون D اثنين، ولتكن أ وب، يبقى ج ود سليمين. وحده الزوج ج د يخلو من المعيب. الزوج أ ب يحتوي اثنين، وكل من أ ج وأ د وب ج وب د يحتوي واحدًا. لذلك يقبل صف واحد من ستة، لا نصفها، رغم أن نصف الوحدات في الدفعة سليمة.

وعندما يكون D ثلاثة، توجد وحدة سليمة واحدة فقط. لا يمكن تكوين زوج من وحدتين سليمتين مختلفتين، فتكون فرصة القبول صفرًا. وكذلك عندما تكون الوحدات الأربع معيبة. ليس الصفر هنا تقريرًا عن سرعة الفحص أو كلفته؛ إنه نتيجة شرط قبول يتطلب زوجًا خاليًا من المعيب، مع عدم وجود عدد كاف من الوحدات السليمة لتكوين هذا الزوج.

لهذا نقرأ الصف الخاص بالدفعة كاملة قبل اختيار الاحتمال. نسبة الوحدات السليمة وحدها ليست احتمال قبول زوج؛ ففي حالة D اثنين، النسبة السليمة نصف، بينما احتمال قبول الزوج سدس. لا يصح تبديل اسم الكمية لأن كلا العددين يتعلق بالسليم؛ الأول يعد وحدات، والثاني يعد عينات تحقق شرطًا.

في الخطة الثانية نسمح بظهور وحدة معيبة واحدة في الزوج، ونرفض إذا ظهرت اثنتان. يبقى حجم العينة اثنين، وتبقى الأزواج الستة وفرصها كما هي. لا نعيد تعريف المعيب على أنه سليم؛ نغيّر فقط الحد الذي تقارن هدى به عدد المعيب المشاهد عند اتخاذ قرار القبول.

إذا كان D صفرًا أو واحدًا، يستحيل أن يحتوي أي زوج وحدتين معيبتين. تقبل الأزواج الستة، فيكون الاحتمال واحدًا في الحالتين. ذلك لا يجعل الدفعة ذات المعيب الواحد خالية من العيب، بل يجعل القاعدة تقبل حتى الزوج الذي يحتوي هذه الوحدة. هنا تظهر أهمية الفصل بين حالة المنتج وقرار الخطة.

مع D اثنين، يرفض الزوج أ ب وحده، وتقبل الأزواج الخمسة الأخرى. الاحتمال خمسة أسداس. ومع D ثلاثة، ولتكن أ وب وج معيبة ود سليمة، تقبل أ د وب د وج د، وترفض أ ب وأ ج وب ج؛ الاحتمال نصف. وإذا كان D أربعة، يحتوي كل زوج معيبين، فيكون الاحتمال صفرًا.

يمكن للقارئ مقارنة عمودَي القرار في الجدول دون إعادة حساب العشوائية. عند D اثنين، الزوج ج د مقبول في الخطتين؛ الأزواج ذات معيب واحد تنتقل من الرفض إلى القبول؛ وأ ب يبقى مرفوضًا. الزيادة من سدس إلى خمسة أسداس جاءت من أربعة صفوف تغير حكمها، لا من عينة إضافية أو إصلاح وحدة.

نعود إلى الحالة التي تكون فيها أ وحدها معيبة، ونضع خطة مستقلة تسحب ثلاث وحدات دون إرجاع، مع عدد قبول صفر. العينات غير المرتبة الآن أ ب ج وأ ب د وأ ج د وب ج د. نفترض تساوي فرص هذه العينات الأربع، ونفحص كل وحدة مسحوبة كشفًا صحيحًا كما فعلنا في الفرع الأصلي.

الثلاث التي تحتوي أ ترفض، وتقبل ب ج د وحدها. احتمال القبول ربع، مقارنة بنصف مع العينة الثنائية في حالة الدفعة نفسها. زيادة حجم العينة أضافت فرصًا لالتقاط المعيب تحت هذه الشروط، ولم تغيّر نسبة المعيب في الوحدات الأربع. عدد القبول بقي صفرًا؛ لذلك نعزل أثر الحجم في هذا الفرع.

لا نعمم عبارة «كل عينة أكبر تضمن جودة الدفعة» من هذه المقارنة. إذا سحبنا الأربع كلها مع كشف صحيح وعدد قبول صفر، فسوف يظهر المعيب المعلوم ويكون القرار رفضًا. أما قبول إحدى العينات الثلاثية، فهو يصف غياب المعيب عنها وفق المثال؛ الوحدة التي بقيت خارجها قد تكون أ نفسها.

كما لا نقارن خطة ثلاثية تسمح بمعيبين بخطة ثنائية تسمح بصفر، ثم ننسب الفرق إلى الحجم وحده. عند تغيير أكثر من شرط نحتاج بطاقة مستقلة لكل خطة. حفظ حجم العينة وعدد القبول وآلية السحب معًا يجعل المقارنة قابلة للفحص، بدل استخدام كلمة «أكبر» بوصفها تفسيرًا مكتملًا لكل فرق في القرار.

لنفترض أن هدى سحبت ب وج، وكانت أ وحدها معيبة فعلًا في الدفعة المؤلفة. ستقبل وفق عدد قبول صفر لأن الوحدتين المسحوبتين سليمتان. هذا القرار صحيح داخل البطاقة، مع أن وحدة من أربع معيبة في الدفعة؛ النسبة المعطاة للمعيب خمسة وعشرون بالمئة، واحتمال قبول الخطة قبل السحب خمسون بالمئة.

العددان لا يتعارضان، لأن مقام الأول أربع وحدات، ومقام الثاني ست عينات ممكنة متساوية الفرص. لا تعني خمسون بالمئة أن نصف الوحدات معيب، ولا تعني أن نصف كل دفعة مشابهة سيباع. إنها فرصة وقوع قرار قبول عند إعادة آلية اختيار موصوفة على الحالة المعطاة، لا سجل نتائج قمنا بجمعه في مصنع.

ولو سحبت أ وب بدلًا من ب وج، لرفضت الخطة نفسها الدفعة. اختلاف القرارين ممكن دون تغيير جودة الوحدات أو طريقة الفحص، لأن اختيار العينة نفسه متغير. لا يجوز إعادة وصف الاحتمال بأنه صفر أو واحد بعد رؤية القرار، ثم تقديم هذا الوصف على أنه الاحتمال السابق للسحب.

إذا كان هدف هدى تقدير عدد المعيب المجهول من نتائج تفتيش، فهذا سؤال آخر يحتاج طريقة تقدير وفروضًا تناسبه. جدولنا يبدأ بعدد معيب معلوم لاختبار أداء القرار، ولا يستنتج هذا العدد من نتيجة زوج واحد. فصل السؤالين يمنع استخدام جدول الاحتمالات جوابًا جاهزًا لسؤال لا يحمل المدخلات نفسها.

إذا وصلتنا دفعة الأربع دون معرفة D، نستطيع وصف قواعد القبول وأسماء العينات، لكن لا نختار سطرًا دقيقًا من منحنى الاحتمال. القول إن العدد المعيب بين صفر واثنين يعطي للخطة الأولى احتمالات ممكنة من سدس إلى واحد، ولا يمنح لكل عدد معيب فرصة متساوية أو متوسطًا تلقائيًا.

وإذا سحبنا مع الإرجاع، يمكن أن يظهر اسم الوحدة نفسها مرتين، وتصبح فضاء العينات مسألة مختلفة. وإذا لم تكن فرص الاختيار متساوية، يحتاج كل زوج وزنًا معلومًا. وإذا كان كشف العيب ناقصًا، نحتاج وصفًا لدقة الكشف. لا نملأ هذه الخانات بقيم مريحة لمجرد أن القسمة على ست أعطت عددًا واضحًا في المثال السابق.

يبين الرسم الأصلي نقاط الاحتمال للعدد المعيب الصحيح من صفر إلى أربعة، بلون لكل عدد قبول. لا نصل بينها بوعد لعدد معيب مثل واحد ونصف داخل دفعة أربع وحدات؛ هذا عدد لا يقع في مثالنا. ويعرض الجدول أسماء الأزواج حتى يمكن مراجعة العد الذي بنيت عليه النقاط، بدل الاكتفاء بشكل منحنى مألوف.

قبل استخدام النتيجة في ملف آخر، سجّل حجم الدفعة وحالة وحداتها وحجم العينة وعدد القبول والإرجاع وفرص السحب ودقة التصنيف. ما أثبتناه أن قبول عينة وارتفاع احتمال قبول خطة لا يساويان خلو الدفعة من العيب. أما اختيار خطة تشغيل أو كلفتها أو أثرها التجاري، فيحتاج بيانات لم نعطها ولا ندعي أن هذا المثال يحددها.