التروس الوسيطة والمركبة: لماذا تعطي أمثلتنا 2.5 و 7 ؟

يختلف الوسيط والمركب في الحساب. [1] في مثالنا 2.5 مقابل 7 رغم اتفاق أ ود؛ اقرأ الاتصال المعلن قبل القسمة.

• نفرض محاور ثابتة وتعشيقات خارجية متوافقة. [1] في الحالة الأولى أ مع ب ثم ب مع د؛ في الثانية أ مع ب، وج مع د، وب وج مثبتان معًا دون حركة نسبية. لا نضيف زوجًا بين ب وج.
• النسبة لزوج: أسنان المنقاد على القائد، أو سرعة القائد على المنقاد. [1] أ 28 ود 70 يعطيان 2.5 ؛ عند 1250 دورة في الدقيقة نحصل على 500 ، باتجاه معاكس.
• المقلوب 28/70 يساوي 0.4 ؛ نضرب 1250 فيه لنستعيد 500 ، ولا نقسم عليه كما فعلنا مع 2.5. في فرع مستقل:70 يقود 28 عند 1250 فيعطي 3125. [1] بطاقة جديدة، لا المدخل القديم.
• ب 56 بين أ 28 ود 70: 2×1.25=2.5. [1] الأرقام 1250 ثم 625 ثم 500 ؛ الطرفان بالاتجاه نفسه. استبدال ب بـ 35 في فرع مستقل يعطي 1000 في الوسط، وتبقى النهاية 500.
• في الحالة الثانية ب 56 وج 20: 2×3.5=7. [1] ب وج 625 ، ود نحو 178.5714 ؛ الطرفان بالاتجاه نفسه. لا نختصر 56 مع 20 ؛ المساواة تخص 625.
• استبدال ج بـ 56 في فرع مستقل يعيد 2×1.25=2.5 ود 500. اخترنا 56 لكل من ب وج، ولم نستنتج هذا العدد من وجودهما معًا وفق الفرض.
• مضاعفة القائمة كلها تحفظ الكسور في أمثلتنا، ولا تستعيد الأبعاد أو ملاءمة قطعة. مضاعفة 1250 وحده إلى 2500 تعطي د 1000 في الأولى ونحو 357.1429 في الثانية. كل تغيير بطاقة مستقلة.
• بطاقة 3.2 مع 960 تعطي 300 ؛ تفكيكا 2×1.6 و 4×0.8 يعطيان 480 و 240 في الوسط. و 1250/7 نحو 35.7143% من 500 ، دون إعادة مخطط أو إثبات قدرة أو تكلفة أو عمر جهاز. احتفظ بالكسر قبل تقريب العرض.

نسمي تروسنا أ وب وج ود. تحدد الخلاصة الشروط. [1] لا تعني الأسماء أن كل اثنين متجاورين في قائمة يرتبطان. نختار ترتيبًا معلومًا في الأولى، فلا نبني علاقة من قرب سطرين في الورقة أو من حجم رقمين. ما يهم هنا وصف البطاقة، لا ترتيب كلمات الأسماء وحده.

الثانية تقدم أربعة أسماء على ثلاثة مواضع: أ مع ب، وج مع د؛ وب وج بحسب الشروط. [1] لا نضيف رابطًا آخر أو نستنتجه من كبر أحد الرقمين. قراءة بطاقة مختلفة تستلزم ما تقدمه هي؛ فلا نكمل معلوماتها الغائبة بنقل وصف من بطاقة سبق أن أعطتنا نتيجة مألوفة.

لو جعلنا ب أو ج حرًا على محمل مستقل خرجنا عن الشروط المبينة في الخلاصة. [1] لا تكفي القائمة لإثبات ملاءمة قطعة فعلية. قدمنا الفرض قبل العمليات حتى يعرف القارئ أين يبدأ المثال وأين تنتهي معلوماته، وما الذي يبقى سؤالًا لا يجيب عنه جمع الأرقام أو طرحها.

الرسم يعرض البطاقة. لكنه لا يقدم أبعادًا أو شكل سن أو خطة تركيب. نفرق بين رمز في مخطط مؤلف وصورة قطعة قيس قطرها. نرجع إلى الوصف المعلن عند كل خطوة، بدل الاعتماد على موقع رقم في الصفحة أو ملء فراغ بفكرة لم يذكرها المثال ولم نتحقق منها.

نتبع الخلاصة. [1] نرتب الكسر كما طلبت، ولا نضيف علامة سالبة إلى قائمته. هكذا يتضح أي تغيير سببه قلبه، وأي وصف كتبناه منفصلًا دون إدخاله في القسمة. اخترنا فصل السطور حتى يستطيع القارئ إعادة العدد، ثم الرجوع إلى الوصف في مكانه.

في هذا الفرع أ 28 ود 70 مباشرةً. قسمة 70 على 28 تساوي 2.5. اخترنا 1250 دورة في الدقيقة، فنقسم على 2.5 ونحصل على 500. نراجع بالضرب 500×2.5 فنرجع 1250 ، وبقسمة 1250 على 500 نستعيد 2.5. الأعداد المكتوبة تسمح بإعادة العمليتين دون معلومة إضافية.

ويمكن مراجعة حاصل ضرب العددين في كل طرف: 28×1250=35000 ، و 70×500=35000. هذا توافق حسابي في المثال، وليس عدًا أجراه حساس. لا نكتب 35000 مكان 28 أو 70 ؛ لكل منهما مكان في السطر، وحاصل ضربه في مبلغ آخر لا يستبدل المدخل الأصلي أو يزيد القائمة.

العدد 2.5 وحده لا يعيد 500. يلزم 1250 الذي اخترناه. ولو وضعنا 1000 في بديل مستقل صار خارج القسمة 400 ؛ استبقينا 28 و 70 والاتصال، وغيّرنا قيمة واحدة معلنة. تحفظ البطاقة الطرفين عندما يكون المطلوب إعادة مقدار، بدل مطالبة خارج قسمة باسترجاع مدخل لم نقدمه.

د معاكس لأ كما في الخلاصة. [1] نسجل ذلك بجوار 500 ، دون تحديد يمين أو يسار في آلة فعلية.

70/28 يساوي 2.5 ، بينما 28/70 يساوي 0.4. الكسران صحيحان حسابيًا، لكن طرفيهما تبدلا. في البطاقة الأصلية 500/1250 يساوي 0.4 كذلك؛ والضرب 1250×0.4 يعيد 500. لم نغير القيم عند كتابة المقلوب، وإنما نقلنا موضع كل واحدة في العملية المختارة.

أما 1250 مقسومة على 0.4 فتعطي 3125 ، ولا تعيد 500. وضعنا المقلوب مكان 2.5 وأبقينا القسمة كما كانت. لا نستنتج أن عدد 70 أخطئ في كتابته لمجرد اختلاف 3125 ؛ تتبع ترتيب الكسر أولًا، ثم العملية التي طبقناها عليه، قبل البحث عن خطأ في قائمة لم تتغير.

نفتح فرعًا مستقلًا:70 يقود 28 ، ونعطي الأول 1250. [1] الكسر 28/70=0.4 والنتيجة 3125. لا نقول إن ذا 70 ظل عند 500 كما في البطاقة الأولى ثم ظهر 3125 دون تغيير. كتبنا من جديد القيمة المعطاة؛ إعادة استخدامها في الضرب تعيد جواب الفرع، بدل محاولة الجمع بين مدخلين من بطاقتين مختلفتين.

ولو أعطينا 70 قيمة 500 في الفرع المعكوس، لرجع 28 إلى 1250. [1] المقارنة تفصل مقدارًا اخترناه عن موضعه في البطاقة؛ 28 و 70 باقيان، لكن الجديدة لم تعد تعطي 1250 للموضع نفسه الذي أعطته إياه أول مرة. لذلك نقرأ المبلغ مع اسم الخانة، ولا ننقله منفردًا ثم نستنتج ما كان مثبتًا.

احتفظ بالمدخل المعطى وطريقة ترتيب الكسر في البطاقة. يبقى موضع كل رقم ظاهرًا عندما تنقله من ملف إلى آخر.

نضيف ب 56 بين أ 28 ود 70 بحسب الحالة الأولى. [1] 56/28=2 و 70/56=1.25 ؛ عند الضرب يظهر 56 في الأعلى والأسفل فيختصر. يبقى 2.5 مثل 70/28. تحقق الاختصار من الأعداد المكتوبة، ولا يحتاج إلى إبدال 56 بقيمة افتراضية أخرى لكي يرجع خارج القسمة نفسه.

من 1250 نحصل على 625 ، ثم 625 مقسومة على 1.25 تعطي 500. لا نضرب بعد ذلك في 2.5 مرة إضافية، لأنه حاصل 2×1.25 نفسه. ولو فعلنا لكررنا النتيجة في عامل لم تنشئه البطاقة. القسمة المتسلسلة تعيد 500 ، كما تعيده القسمة على حاصل الضرب مرة واحدة؛ اختر إحدى العمليتين كاملة.

نستبدل ب بـ 35 في فرع مستقل، دون تغيير أ ود. [1] 35/28=1.25 و 70/35=2 ؛ حاصل الضرب 2.5. بدل 625 تظهر 1000 ، وتبقى 500 في النهاية. هناك خانة تغيرت رغم اتفاق جواب أخير، فلا نسترجع 625 من 2.5 وحدها أو نفترض أن كل الأرقام السابقة تطابقت عندما تطابقت آخر واحدة.

د مثل أ في الوصف المنفصل الذي تحدده الخلاصة. [1] هذا يختلف عن الفرع المباشر رغم اتفاق 500. لا نساوي كل صفات بطاقتين من اتفاق عدد واحد؛ ننقل وصف كل منهما، ونترك المقارنة العددية في حدود الخانة التي قورنت بالفعل. إذا احتجنا صفة أخرى نطلب ما يحددها.

اتفاق 500 لا يستعيد 625 أو 1000 ، ولا يختار 35 أو 56 من تلقاء نفسه؛ الخانات السابقة ما زالت تحتاج المدخلات.

نستخدم الثانية المبينة في الخلاصة. [1] أ 28 وب 56 وج 20 ود 70. الكسور 56/28 ثم 70/20 ، أي 2 ثم 3.5 ؛ حاصل الضرب 7. لا نضع 70/56 مكان الثاني، لأن البطاقة كتبت 20 هناك. ترتيب الأعداد جزء من العملية المطلوبة، لا اختيار لأقرب رقم يجعل الخارج مألوفًا أو يطابق بطاقة أخرى.

أ 1250 وب 625 وج 625 ، بحسب الشروط. [1]625 على 3.5 تساوي 1250/7 ، نحو 178.5714 لد. ونراجع من 1250 على 7 ؛ الكسر نفسه يعود قبل تقريب المنازل. احتفظنا بالقيمة الأصلية داخل الخطوات، ثم عرضنا نسخة عشرية منها للقارئ؛ هذه النسخة لا تستبدل الكسر إذا أردنا إعادة العملية دون أثر تقريب.

لا نختصر 56 مع 20 ؛ الأول لب والثاني لج. المساواة 625 تخص الخانة الأخرى المبينة في الخلاصة. [1] حذف رقمين غير متساويين لا يصلحه اتفاق رقمين آخرين. لو ألغيناهما لرجع 2.5 خطأً إلى بطاقة قدمت 20 صراحةً، بينما الكسور المكتوبة تعيد 7 ثم 1250/7 عند القسمة النهائية.

أ 28 ود 70 باقيان كما في الأولى، لكن 500 استبدلت بـ 1250/7. لا يوفر هذان العددان وحدهما ما غاب بينهما؛ الثانية قدمت 56 و 20 كما في الخلاصة. [1] لا نختار جوابًا من اتفاق البداية والنهاية، بينما يختلف السطر الذي يحدد عمليته. اقرأ المدخلات كلها قبل توقع نتيجة بعينها.

د مثل أ وفق الخلاصة. [1] اتفاق هذا الوصف لا يعيد 500. نسجل الوصف والمقدار في موضعين، ثم نسأل أيهما نقارن، بدل محو الاختلاف العددي لأن وصفًا آخر تطابق. مراجعة كل خانة بما يحددها تبقي السؤال ظاهرًا، وتمنع نقل جواب إلى موضع لم يجب عنه.

نرجع إلى الثانية ونستبدل ج بـ 56 بدل 20 ، مع ب 56. الكسر الثاني 70/56=1.25 ، والحاصل 2×1.25=2.5. ب وج 625 ، ود 500. [1] أبقينا 1250 وغيّرنا عددًا واحدًا. لا يأتي هذا الفرع بعد النهاية السابقة أو يجمع معها؛ إنه إعادة حساب لبطاقة بديلة كاملة وفق المدخل الذي قدمناه.

هذه المرة يجوز الاختصار العددي لأننا أعطينا 56 في الموضعين صراحةً. لم نستخرجه من فرض الخلاصة. [1] في الأصل ذي 20 لم يصح حذف 56 مع 20 ، ولم يصلحه ظهور 625 مرتين. تحقق مساواة الرقمين اللذين تختصرهما، بدل الاستعاضة عنها بمساواة رقمين آخرين في بطاقة المثال؛ خانة أخرى لا تعيد العدد الناقص.

يتفق 500 مع الأولى، لكن وصف ب وج باقٍ بحسب الخلاصة. [1] لم نعط أبعادًا أو نقول إنهما جسم واحد. يستطيع الحساب الاتفاق تحت اختيار عددي معلن، مع بقاء بقية البطاقة؛ حاصل الضرب لا يسترجع تلقائيًا كل ما كتبناه عنها قبل بدء العمليات أو يسمح باستبدال جسمين بقطعة فعلية.

حين استبدلنا 20 بـ 56 بقي 625 ، وصار الكسر 1.25 بدل 3.5. لا نجمع الفرق بين هذين العددين إلى 500 أو 178.5714. الفرق مجرد عدد؛ لم نعطه وحدة الدورات في الدقيقة. لا تضعه في خانة مبلغ ذي وحدة أخرى لمجرد أن طرحهما مسموح حسابيًا وأننا نستطيع تنفيذ الجمع بالآلة.

نضاعف قائمة الحالة الثانية كلها في فرع مستقل:56 و 112 و 40 و 140. الكسران 112/56 و 140/40 باقيان 2 و 3.5 ، وحاصلهما 7. لم نغير 1250 ، فتبقى 625 و 1250/7. زادت الأعداد الأربعة معًا، لكن كل كسر ضرب طرفيه في العامل نفسه؛ نستطيع إلغاء العامل دون محو أحد المدخلات منفردًا.

في فرع آخر نعيد القائمة الأصلية ونستبدل 1250 بـ 2500. يصير ب وج 1250 ، ود 2500/7 ، نحو 357.1429. وفي الأولى ذات 2.5 نصل إلى 1000 عند د. [1] نعلن أي مدخل تغير؛ لا نجمع فرع القائمة إلى فرع 2500 ثم ننسب النتيجة إلى بطاقة لم نقدمها. لكل بديل قيمه التي تعيد عمليته.

ونختبر عامل 0.5 على 1250 ، فيصبح 625 ؛ القسمة على 7 تعطي 625/7 ، وعلى 2.5 تعطي 250. إنه فرع جديد بقيمة معطاة. يمكن مراجعة المعادلات بالضرب من الطرف الآخر، دون اختيار قدرة محرك أو افتراض نسبة فقد. لا نضيف هذه التفاصيل لمجرد أن المثال يتناول أجزاء من آلة في رسم تعليمي.

أما استبدال ج 20 بـ 40 وحده، مع ب 56 ، فليس مضاعفة منتظمة للقائمة.70/40=1.75 ، ثم 2×1.75=3.5 ؛ مع 1250 تظهر 2500/7 ، نحو 357.1429. [1] تطابقت مع فرع 2500 ، لكنها جاءت من بطاقة مختلفة. نحتفظ بالمدخلات بجوار الأرقام حتى لا نختار قصة من آخر خانة وحدها أو نخلط ما ثبت بما استبدلناه في كل فرع.

نفتح بطاقة مستقلة تعطينا 3.2 مع 960 ، فيخرج 300. يمكن تفكيك 3.2 إلى 2×1.6 أو 4×0.8. قسمة 960 على العامل الأول تعطي 480 أو 240 ، ثم نستعيد 300 في الحالتين. [1] لا يختار 300 وحده قيمة واحدة للمكان السابق؛ علينا معرفة التفكيك الذي قدمته البطاقة قبل إعادة تلك الخطوة.

3.2 اختيار مجرد للفحص، لا قائمة لقطع فعلية. لاسترجاع القائمة نحتاج معلومات أخرى. مثلما لا تختار 2.5 بين 35 و 56 ، لا تحمل 3.2 وحدها وصف كل ما رسمه شخص في مخطط مجهول. يمكن إتمام الحساب المعطى مع التصريح بما غاب، وترك السؤال الذي يحتاج بيانات أخرى خارج نتيجة القسمة الحالية.

لا نقرأ من 178.5714 مقدار عزم أو قدرة أو تكلفة تشغيل. لم نعطها في مدخلاتنا أو بيانات أداء فعلية. وقد عرفنا 7 بدقة رغم تقريب 1250/7 في العرض؛ كثرة المنازل لا تحول المسألة المؤلفة إلى قياس جهاز، ولا تختار دقة سجل فعلي لم نقرأه أو مكونات لم نقدمها.

ولمقارنة العددين 500 و 1250/7 دون تقريب مبكر، نكتب 500 على صورة 3500/7. الفرق 2250/7 ، نحو 321.4286. أما قسمة الثاني على الأول فتعطي 5/14 ، نحو 35.7143%؛ والنقص النسبي 9/14 ، نحو 64.2857%. الطرح يجيب عن فرق مقدار، والقسمة عن نسبته إلى 500 ؛ لا نضع 321.4286 مكان 35.7143 في خانة مئوية.

وعند قلب المقارنة، 500 مقسومة على 1250/7 تساوي 14/5 ، أي 2.8. لذلك كون أحد العددين نحو 35.7143% من الآخر لا يجعل الآخر أكبر منه 64.2857% فقط. إذا كان المرجع 1250/7 ، فالزيادة 2250/7 عليه تعطي 1.8 ، أي 180%. تغير أساس النسبة، مع أن العددين نفسيهما لم يتغيرا أو ينتجا حالة جديدة.

ويمكن مراجعة التقريب المعروض بضرب 178.5714 في 7: يظهر 1249.9998 ، أي أقل من 1250 بمقدار 0.0002. لا نستنتج عيبًا في قطعة من هذا الفرق؛ استعملنا عددًا مقربًا بدل الكسر 1250/7 الذي يعيد 1250 تمامًا. احتفظ بالكسر عندما تعيد خطوات المسألة، ثم قرب نتيجة العرض بحسب المنازل التي اخترتها.

ولأن 357.1429 عرض مقرب أيضًا، قسمته على 178.5714 تعطي عددًا قريبًا من 2 ، بينما الكسور 2500/7 و 1250/7 تعيد 2 بالضبط. لا تضف انحراف المنازل إلى تفسير سبب اختلاف البطاقتين. راجع المدخل الذي تغير أولًا، ثم فرق بين الحساب بالقيم الأصلية وما يظهر حين يعاد استخدام الأرقام المقربة في عملية أخرى.