عدد المحاولات والإخفاقات في التوزيع الهندسي قد يختلف بمقدار واحد دون تغير مسار النتائج. عندما نقرأ مخرجا احتماليا أو ننقله بين أدوات، نحتاج تعريف ما يعده المتغير. نؤلف مسارا ينتهي بأول نجاح، ثم نقارن عد المحاولات الشامل للنجاح بإحصاء الإخفاقات السابقة له.
الخلاصة السريعة
يعتمد ذلك على تعريف المتغير؛ عد المحاولات حتى أول نجاح يشمل محاولة النجاح، بينما عد الإخفاقات قبله يستبعدها. لا يكفي اسم «هندسي» لتحديد العد.
- في صيغة SciPy geom دون إزاحة، تبدأ k من 1 وتستخدم الكتلة(1-p) مرفوعة إلىk-1 ثم مضروبة فيp. [1]
- تصف R dgeom العدد بأنه إخفاقات قبل النجاح، وتبدأ من 0 ، بكتلةp مضروبة في(1-p) مرفوعة إلى العدد. [2]
- نعلن احتمالا ثابتا 2/5 واستقلال المحاولات. مسار إخفاق وإخفاق ونجاح يعطي ثلاث محاولات وإخفاقين؛ احتمال هذا المسار(3/5)²×(2/5)، أي 18/125.
- لم يتغير المسار أو احتمال الحدث عندما تغير اسم العدد؛ المحاولات تساوي الإخفاقات زائد 1. وثق المعنى وloc=0 في مقارنة SciPy؛ لم ننفذ الأداتين أو نجمع نتائج فعلية.
ما الذي يبدأ من 1 في صيغة SciPy؟
توثق SciPy geom الكتلة(1-p)^(k-1) مضروبة فيp، للأعداد k التي تبدأ من 1 ، مع احتمال نجاح p موجب لا يزيد على 1. [1]
نثبت loc=0 ، حتى لا يكون اختلاف البداية نتيجة إزاحة أضفناها. في تفسيرنا، k تعد جميع المحاولات التي أجريت حتى ظهور أول نجاح، بما فيها المحاولة الناجحة الأخيرة.
إذا نجحت المحاولة الأولى، يكون العدد 1 ، ولا توجد محاولة سابقة أخفقت. هذا الحد الصغير يوضح ما تعده الواجهة أكثر من نقل رقم 3 بين أداتين دون وصف.
ما الذي يبدأ من 0 في تعريف R؟
تعرّف وثائق R وسيط dgeom بعدد الإخفاقات قبل وقوع النجاح؛ مجاله 0 و 1 وما بعدهما. [2]
نسمي هذا العدد ف في شرحنا. عند نجاح المحاولة الأولى، تكون ف صفرا لأننا لم نشاهد إخفاقا قبلها. لم نقل إننا أجرينا صفر محاولات؛ المحاولة الناجحة حدثت في قصة المثال، لكنها خارج ما تعده ف.
عند أول نجاح بعد عدة إخفاقات، تكون المحاولات مساوية للإخفاقات زائد 1. هذه علاقة بين تعريفين لعد المسار نفسه، وليست قاعدة تقول إن كل مخرجات توزيعات تحمل الاسم نفسه مختلفة دائما بواحد مهما كانت الإزاحات.
كيف يحافظ المثال على احتمال الحدث نفسه؟
نعلن محاولات مستقلة باحتمال نجاح 2/5 ثابت، وإخفاق 3/5. نختار مسارا واحدا: إخفاق ثم إخفاق ثم نجاح. عدد المحاولات 3 ، وعدد الإخفاقات قبل النجاح 2.
احتمال المسار يساوي 3/5 مضروبا في 3/5 ثم 2/5 ، أي 18/125. صيغة عد المحاولات تستخدم الأس 3 ناقص 1 ، وصيغة عد الإخفاقات تستخدم الأس 2 ؛ في الحالتين يوجد إخفاقان قبل عامل النجاح.
الأرقام من إنشاء التمرين، ولم نسحب نتائج عشوائية أو ننقل ناتجا من R أو SciPy. الجدول يشرح تحويل العد، ويترك سبب مناسبة الفرض الاحتمالي لعمل واقعي غير محسوم.
| المسار المؤلف حتى أول نجاح | عدد المحاولات | عدد الإخفاقات السابقة |
|---|---|---|
| نجاح من الأولى | 1 | 0 |
| إخفاق ثم نجاح | 2 | 1 |
| إخفاق ثم إخفاق ثم نجاح | 3 | 2 |
ما الذي نحفظه عند نقل المخرج؟
نقترح أن يذكر الملف هل العدد يشمل المحاولة الناجحة، وما احتمال النجاح وما الإزاحة المستخدمة. إذا ظهر 3 في أحد التقريرين و 2 في الآخر، نراجع هذا التعريف قبل إعلان اختلاف في البيانات أو خطأ دالة.
وقد تتغير فرضية ثبات الاحتمال في مهمة يتعلم فيها الشخص أو يتغير فيها الجهاز بين المحاولات. لم نختبر تلك المهمة، فلا نقدم التوزيع الهندسي وصفا تلقائيا لها لمجرد أن السؤال ينتهي بنجاح.
لم ننفذ الأداتين أو نثبت متوسطا من سجل ميداني. النتيجة تبين معنى عددين لنفس المسار المفترض، وتوضح كيف يظل احتمال الحدث نفسه بعد تحويل العد الصحيح.
المصادر ومتابعة القراءة
- SciPy: geom (يفتح في نافذة جديدة)docs.scipy.org
- R stats: Geometric (يفتح في نافذة جديدة)stat.ethz.ch
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.