احتمال مجموع عددين: هل نجمع الاحتمالين مباشرة؟

الخلاصة السريعة

لا؛ نضرب احتمالَي الزوج عند الاستقلال، ثم نجمع مساهمات جميع الأزواج التي تعطي قيمة المجموع المطلوبة. يلزم حفظ قيم المجموع كلها حتى يبقى التوزيع كاملا.

• عند استقلال متغيرين متقطعين، يساوي احتمال الزوج حاصل ضرب احتماليهما؛ تجمع الأزواج المختلفة التي تعطي المجموع نفسه. ^[1] نعلن الاستقلال في المثال، ولا نستنتجه من هامشين وحدهما.
• نختار س بالقيم 0 و 1 واحتمالَي 1/3 و 2/3 ، وص بالقيم 0 و 1 و 2 واحتمالات 1/2 و 1/4 و 1/4. الأزواج الممكنة 6 ، وقيم المجموع 0 و 1 و 2 و 3.
• احتمالات المجموع بالترتيب 1/6 و 5/12 و 1/4 و 1/6 ، ومجموعها 1. للمجموع 1 مساهمتان:س 0 مع ص 1 ، وس تساوي 1 مع ص 0 ؛ نجمع 1/12 و 1/3.
• توثق SciPy أن convolve بوضع full يعطي الالتفاف الكامل وطولا N+M-1 ؛ same يحتفظ بطول المدخل الأول. ^[2] لا نقدم خرجا مقصوصا كتوزيع كامل؛ الحساب يدوي ولم ننفذ الدالة.

ما علاقة الاستقلال بحساب الزوج؟

توضح Penn State ضرب الاحتمالين عند الاستقلال، ثم جمع احتمالات الأزواج التي تحقق قيمة المجموع. ^[1]

نؤلف س بالقيمتين 0 و 1 ، وص بالقيم 0 و 1 و 2. كلا التوزيعين معرف بقيمه واحتمالاتها، ونفترض استقلالهما صراحة. معرفة التوزيعين المنفصلين وحدها لا تثبت أنهما مستقلان في بيانات واقعية.

السؤال عن س زائد ص، وليس عن متوسطهما أو عدد مرات ظهور أحدهما في عينة. سنكتب كل زوج مرة واحدة، ونحسب احتماله قبل تجميع الأزواج تحت قيمة مجموع واحدة.

كيف نحسب مساهمات الأزواج الستة؟

احتمال س 0 ثلث، وس تساوي 1 ثلثان. احتمالات ص 0 وص 1 وص 2 هي نصف وربع وربع. حاصل ضرب الاحتمالين يعطي للزوج الأول 1/6 ، وللزوجين التاليين 1/12 لكل منهما.

عندما تكون س تساوي 1 ، تصبح احتمالات الأزواج مع ص 0 وص 1 وص 2 هي 1/3 و 1/6 و 1/6. مجموع احتمالات الأزواج الستة 1. الجدول يحفظ قيمة كل متغير منفصلة حتى لا يختلط زوجان لهما مجموع واحد.

هذه احتمالات مفترضة محسوبة من مدخلات معلنة، وليست تكرارات رصدناها أو نتائج تجربة التقطت بها الأداة أحداثا.

كيف نعيد توزيع الاحتمال على قيم المجموع؟

للمجموع 0 زوج واحد واحتماله 1/6. للمجموع 1 زوجان باحتمالَي 1/12 و 1/3 ، فيكون المجموع 5/12. للمجموع 2 نجمع 1/12 و 1/6 ، فنحصل على 1/4. وللمجموع 3 زوج واحد باحتمال 1/6.

إذا احتفظنا بالزوج س 0 وص 1 وحده عند سؤال المجموع 1 ، لفقدنا مساهمة س تساوي 1 وص 0. ليست قيمة المجموع هوية للزوج؛ التجميع يجمع حالات مختلفة تحقق القيمة العددية نفسها.

احتمالات القيم الأربع تجمع 1: اثنان من 12 ، ثم 5 من 12 ، ثم 3 من 12 ، ثم اثنان من 12. لم ننشئ احتمالا جديدا خارج الأزواج، بل أعدنا تجميع كتلتها دون فقد أو عد مضاعف.

لماذا نراجع وضع الالتفاف وحفظ جميع القيم؟

في convolve، توثق SciPy full للالتفاف الكامل بطول N+M-1 ، وsame لخرج بطول المدخل الأول متمركز بالنسبة إلى الكامل. ^[2]

قائمتا الاحتمالات في تمريننا طولهما 2 و 3 ، فيحتاج الكامل إلى 4 مواضع، مرتبطة بالمجاميع 0 إلى 3. كل واحدة من هذه القيم لها احتمال موجب هنا؛ قائمة بطول 2 لا تعرض القيم الأربع كلها.

لا نعوض الاحتمالات المقصوصة بتطبيع الباقي ثم نسميه التوزيع الأصلي دون وصف التغيير. نقترح حفظ أصل الفهرسة ووضع الحساب والدعم الكامل. لم ننفذ convolve أو تجربة نموذج؛ المثال يشرح حساب مجموع مستقل وشروط حفظ احتمالاته.