متوسط بعد اللوغاريتم يجيب عن عملية مختلفة من متوسط القيم الأصلية. يمكن أن نعكس كل قيمة محولة فنستعيد أصلها، لكن عكس متوسط القيم المحولة لا يلزم أن يعيد متوسط الأصول. نختار قيمتين موجبتين وأوزانا متساوية لنعزل أثر ترتيب الحساب.
الخلاصة السريعة
لا يلزم ذلك؛ في مثال 4 و 16 يعطي عكس متوسط اللوغاريتمين 8 ، بينما المتوسط الحسابي للقيم الأصلية 10.
- تحسب log2 لوغاريتم الأساس 2. [1] نستخدم قيمتين موجبتين بالوحدة نفسها؛ 4 تصبح 2 و 16 تصبح 4 لأن 2 أس 2 يساوي 4 و 2 أس 4 يساوي 16.
- متوسط المحولين 3 ؛ رفع 2 إلى 3 يعطي 8. أما جمع الأصلين وقسمته على اثنين فيعطي 10 ؛ لم نغيّر الصفين أو وزنيهما.
- إذا اخترنا 8 و 8 ، يعود المساران إلى 8. اختلاف المثال الأول لا يعني أن النتيجتين مختلفتان لكل مدخل، ولا أن إحداهما خطأ حسابي.
- دوّن ترتيب التحويل والتلخيص والعكس، وسمّ النتيجة بحسب العملية. الرجوع إلى الوحدة الأصلية لا يجعل 8 متوسطا حسابيا للأصلين، ولا يثبت أفضلية تمثيل للنموذج.
ما التحويل الذي نستطيع عكسه؟
تعرف NumPy log2 بأنها لوغاريتم الأساس 2. [1]
نؤلف قيمتين 4 و 16 لكمية موجبة بالوحدة نفسها. نستخدم التعريف العددي: لوغاريتم 4 للأساس 2 هو 2 ، ولوغاريتم 16 هو 4. الرفع إلى القوة يعكس كل تحويل في هذه الأزواج؛ رفع 2 إلى 2 يعطي 4 ، ورفعه إلى 4 يعطي 16.
بهذا لا تكون المشكلة في عجزنا عن تفسير قيمة محولة منفردة. المشكلة تظهر عندما نلخص قيمتين ثم نعكس العدد الملخص. نثبت الأساس ونمنع إضافة ثابت إلى المدخل، كي لا ندخل تحويلا آخر ضمن السؤال.
كيف يصل المساران إلى 8 و 10 ؟
في المسار الأول نحول كل قيمة، فنحصل على 2 و 4. متوسطهما بالوزنين المتساويين 3. نعكس هذا العدد برفع 2 إلى 3 ، فتكون النتيجة 8 على مقياس الأرقام الأصلية.
في المسار الثاني نبدأ بالأصلين 4 و 16. مجموعهما 20 ، وقسمته على عدد القيم 2 يعطي 10. لا توجد قيمة ناقصة أو صف جديد أو وزن مختلف يفسر الفرق؛ تغير ترتيب التحويل والعملية التي لخصنا بها.
ويمكن التحقق من 8 أيضا بأنه الجذر الموجب لحاصل ضرب 4 و 16 ، أي جذر 64. هذا تحقق مستقل لهذين العددين، لا دليل على أن 8 متوسطهما الحسابي.
| المسار المؤلف | الحساب | الناتج على مقياس الأصل |
|---|---|---|
| تلخيص الأصل مباشرة | 4 زائد 16 ، ثم القسمة على 2 | 10 |
| تحويل ثم متوسط ثم عكس | متوسط 2 و 4 هو 3 ؛ ثم 2 أس 3 | 8 |
هل اختلاف النتيجتين لازم دائما؟
نغير المدخل إلى 8 و 8 مع الشروط نفسها. يصبح كل منهما 3 باللوغاريتم المختار، ومتوسطهما 3 ؛ عكسه 8. ومتوسط الأصلين 8 أيضا. لدينا إذن حالة مساواة واضحة.
المثال الأول يكفي لرفض قاعدة «عكس المتوسط المحول يعيد دائما المتوسط الأصلي». لكنه لا يثبت قاعدة معاكسة تقول إن المسارين لا يتساويان أبدا. كما لا نخلط بين تغيير ترتيب الحساب وبين ارتكاب خطأ في الجمع أو الرفع إلى القوة.
لم نبحث هنا حالات الصفر أو القيم السالبة أو أوزانا غير متساوية. إذا تغير مجال المدخل أو الوزن أو التحويل، نعيد تحديد العملية قبل الاستنتاج؛ الجواب العددي السابق يخص القيم والشروط المعلنة.
ماذا يعني العكس في وصف النتيجة؟
يمكن وصف 8 بأنه ناتج عكس متوسط لوغاريتمي في المثال. لا نسميه «المتوسط الحسابي الأصلي بعد استعادته»، لأن المتوسط الحسابي الأصلي حسبناه وكان 10. كتابة الوحدة القديمة بجانب الناتج لا تغير مسار إنتاجه.
احتفظ بالأصل والأساس والأوزان وموضع التلخيص في سلسلة الحساب. وإذا أراد السؤال المتوسط الحسابي للأصول، فحدده بهذه العبارة وأجر حسابه على الأصول أو استعد القيم الفردية أولا. شرح المسارين لا يختار الملخص الأفضل لكل استعمال؛ يحتاج ذلك إلى معنى السؤال، ولم ننفذ تحليلا أو تجربة نموذج.
المصادر ومتابعة القراءة
- NumPy: log2 (يفتح في نافذة جديدة)numpy.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.