اختبار t المقرون لا يقرأ متوسط كل عمود وحده؛ يدخل تشتت فروق الأزواج في مقام الإحصائية. نؤلف جدولين لهما قيم الأعمدة نفسها ومتوسطاتها نفسها، لكنهما يعلنان أزواجًا مختلفة. الحساب يوضح المعلومة التي تفقد إذا احتفظنا بالمتوسطين فقط.
الخلاصة السريعة
لا تكفي المتوسطات المنفصلة لحساب الإحصائية؛ نحتاج فروق الأزواج وتشتتها وعددها، مع تعريف صحيح لما يجعل القياسين زوجًا. [2]
- تصف SciPy الإحصائية بأنها متوسط a−b مقسوم على الخطأ المعياري. [1] اتجاه الطرح مهم؛ نختار دائمًا أ ناقص ب.
- في جدولنا الأول، أ هي 1 و 3 و 6 ، وب هي 2 و 5 و 7 ؛ الفروق سالب 1 وسالب 2 وسالب 1 ، ومتوسطها سالب 4/3 وتباين عينتها 1/3.
- في جدول ثانٍ يعلن ب بالترتيب 7 و 5 و 2 ، يبقى المتوسط سالب 4/3 ، لكن تباين الفروق يصبح 76/3 ؛ الإحصائيتان سالب 4 وسالب 4 مقسومًا على جذر 76.
- تستخدم الصيغة انحراف الفروق مقسومًا على جذر عدد الأزواج. [2] احفظ هوية الأزواج؛ لا تبدل قياسات معروفة لإنشاء نتيجة مرغوبة، ولم نحسب قيمة p أو دلالة هنا.
أي فروق تدخل الإحصائية؟
توثق SciPy حساب الإحصائية بمتوسط a−b مقسومًا على الخطأ المعياري، ولذلك تتبع الإشارة اتجاه ذلك الفرق. [1]
نختار قياسات عددية مؤلفة بلا وحدة، ونطرح قياس ب من قياس أ داخل كل صف. إذا قلبنا الطرح، قلبنا إشارة الفروق؛ لا نفعل ذلك ضمن المقارنة دون إعلانه.
عدد الأزواج في المثال ثلاثة. نتحدث عن تشتت عمود الفروق الذي أنشأناه، لا عن طرح الانحراف المعياري لعمود ب من انحراف عمود أ.
كيف نحسب جدول الأزواج الأول؟
نضع أ بالقيم 1 و 3 و 6 ، وب بالقيم 2 و 5 و 7. متوسط أ هو 10/3 ، ومتوسط ب 14/3 ؛ متوسط الفروق يساوي سالب 4/3.
الفروق هي سالب 1 وسالب 2 وسالب 1. انحرافاتها عن متوسطها هي 1/3 وسالب 2/3 و 1/3. مجموع مربعاتها 2/3 ؛ نقسمه على عدد الأزواج ناقص واحد، أي 2 ، فنحصل على تباين عينة 1/3.
انحراف الفروق هو جذر 1/3. وبقسمة هذا الانحراف على جذر 3 يصبح الخطأ المعياري 1/3 ؛ ثم نقسم المتوسط سالب 4/3 عليه فتكون الإحصائية سالب 4.
ما الذي يتغير مع أزواج مختلفة والمتوسطين نفسيهما؟
نؤلف جدولًا ثانيًا يحتفظ بأ بالقيم نفسها، لكنه يعلن ب بالترتيب 7 و 5 و 2. متوسط ب لا يتغير؛ غير أن الفروق الآن سالب 6 وسالب 2 و 4.
يبقى متوسط الفروق سالب 4/3. انحرافاتها عنه هي سالب 14/3 وسالب 2/3 و 16/3 ؛ مجموع مربعاتها 152/3 ، وتباين العينة 76/3.
الخطأ المعياري يصبح جذر 76 مقسومًا على 3. لذلك تكون الإحصائية سالب 4 مقسومًا على جذر 76. لم يتغير البسط، لكن تشتت الفروق غيّر المقام.
| جدول مؤلف | فروق أ ناقص ب | متوسط الفروق | تباين الفروق بمقام 2 | الإحصائية الحسابية |
|---|---|---|---|---|
| الأول | سالب 1 ، سالب 2 ، سالب 1 | سالب 4/3 | 1/3 | سالب 4 |
| الثاني | سالب 6 ، سالب 2 ، 4 | سالب 4/3 | 76/3 | سالب 4 ÷ جذر 76 |
كيف نحفظ المقارنة دون إفساد الهوية؟
يعرض NIST صيغة الاختبار المقرون بمقام هو الانحراف المعياري لفروق الأزواج مقسومًا على جذر عددها. [2]
الجدولان يعلنان بيانات اقتران مختلفة. إذا كانت قياساتنا الحقيقية مرتبطة بهويات معروفة، فلا يحق لنا إعادة ترتيب ب منفردًا ثم القول إننا حللنا الأزواج الأصلية. نخزن معرف الحالة وتوقيت القياس واتجاه الفرق.
هذه أعداد تعليمية وحساب جبري؛ لم نشغل اختبارًا أو نقدر قيمة p أو نثبت تحقق افتراضاته في مجتمع فعلي. النتيجة المحدودة أن المتوسطين المنفصلين لا يحفظان تشتت الفروق اللازم للإحصائية.
المصادر ومتابعة القراءة
- SciPy: ttest_rel (يفتح في نافذة جديدة)docs.scipy.org
- NIST Dataplot: T TEST (يفتح في نافذة جديدة)itl.nist.gov
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.