D50 في تقرير حجم الجسيمات: النصف محسوب بأي أساس؟

أساس التوزيع جزء من معنى D50: وسيط العدد ووسيط الحجم يصفان نصفين مختلفين. [1][2] في قائمتنا المؤلفة تبقى الكرات نفسها، لكن قراءة النصف تتغير من قطر 1 إلى قطر 3.

• القائمة أ: ثماني كرات قطر كل منها 1 ميكرومتر، وكرة قطرها 3. العدد الكلي 9. عند حد 1 تقع ثماني كرات، أي نحو 88.89% من العدد؛ لا نغير القائمة عندما نبدل طريقة وزنها.
• للكرات نفترض حجمًا متناسبًا مع مكعب القطر. [1] نعطي كل صغيرة وزنًا حجميًا 1 والكبيرة 27؛ مجموع الأوزان 35. حصة الصغار من الحجم 8/35، أي نحو 22.86%، لا 88.89%. الأوزان النسبية ليست أحجامًا بوحدة ميكرومتر مكعب.
• نعرّف حسابنا الخاص: نجمع مساهمات الأقطار الأصغر من الحد أو المساوية له، ثم نختار أصغر قطر في القائمة بلغ عنده المجموع النسبة المطلوبة أو تجاوزها. عند 50% نحصل على 1 للعدد و3 للحجم. لا ننسب هذا البروتوكول المنفصل إلى جهاز أو معيار.
• الوسيط ليس المتوسط. [1][2] المتوسط الحسابي لأقطار أ هو 11/9، نحو 1.2222؛ ومتوسطنا الموزون بالأوزان الحجمية هو 89/35، نحو 2.5429 ميكرومتر. هذان حسابان صرحنا بصيغتهما، وليسا اسمًا بديلًا لقراءة النصف.
• بنفس قاعدة الاختيار المؤلفة: أ تعطي عند نسب 10/50/90 للعدد أقطار 1/1/3، وللحجم 1/3/3. نقطة واحدة لا تستعيد النقطتين الأخريين. النسب والأقطار خانتان مختلفتان.
• القائمة ب مستقلة: أربع كرات قطرها 1 وخمس قطرها 3؛ وزن الحجم 139. عند 10/50/90 حجميًا تعطي 3/3/3. تتفق أ وب عند النصف وعند 90%، وتختلفان عند 10%، رغم بقاء مجموع العدد 9.
• مضاعفة عدد كل مجموعة في أ تحفظ الحصص والوسيطين. أما مضاعفة جميع الأقطار إلى 2 و6 فتحفظ الحصص وتضاعف الأقطار المختارة إلى 2 و6؛ حجم كل كرة في الفرض يتضاعف ثماني مرات.
• الرسم أصلي لبيانات مؤلفة: الدوائر تعرض الأقطار، والخطوط تعرض نسبًا تراكمية وفق قاعدتنا. اكتب أساس التوزيع والوحدة وطريقة عرض النتيجة قبل المقارنة؛ لا يستنتج النموذج جودة مسحوق أو أداء منتج.

نؤلف القائمة أ من ثماني كرات صغيرة متساوية وكرة كبيرة واحدة. قطر الصغيرة 1 ميكرومتر وقطر الكبيرة 3 ميكرومتر. نفترض كرات كاملة، ونثبت العدد والقطر دون خطأ قراءة في هذه المسألة. لا تصف الأرقام فرزًا أجراه عامل أو قياسًا التقطه جهاز؛ هي المدخلات التي اخترناها للشرح.

ترتيب الأقطار تصاعديًا يضع ثماني خانات تحمل 1، ثم خانة أخيرة تحمل 3. [3] مجموع العدد تسعة، ومجموع الأقطار أحد عشر. لا نضع 11 تحت عنوان عدد الكرات؛ إنه مجموع قيم الأقطار الذي سنحتاجه في حساب آخر، بينما يبقى لكل خانة جسم واحد في القائمة.

إذا كان السؤال كم كرة لا يتجاوز قطرها 1، فالجواب ثماني كرات. وعند القسمة على التسعة يصبح الكسر 8/9، أي نحو 88.8889 بالمئة. أما التي يزيد قطرها على 1 فهي واحدة، وحصتها 1/9، نحو 11.1111 بالمئة. الحصتان تجمعان إلى مئة وفق الحدود التي سميناها.

وعند حد قطر 2 لا تدخل كرة جديدة: ما زالت ثماني كرات ضمن الحد وواحدة فوقه. لا نضيف جسمًا قطره 2 لمجرد وجود الرقم بين 1 و3 على محور الرسم. القائمة المنفصلة التي اخترناها لا تحتوي ذلك الجسم، رغم إمكان استعمال الرقم حدًا لسؤال العد.

بقاء المجموع تسعة مهم عندما نبدل الأساس لاحقًا. لن نستبدل الكرة الكبيرة بسبع وعشرين كرة صغيرة حقيقةً، ولن نعيد تفسير القطر 3 على أنه عدد أجسام. سنحتفظ بالأجسام نفسها، ونغير مقدار المساهمة الذي نعطيه لكل منها في مجموع حسابي معلوم.

يوضح دليل Malvern اختلاف أساس العدد عن الحجم، وأن مساهمة حجم الكرة تتناسب مع مكعب قطرها. [1] نطبق الفكرة على كراتنا المفترضة فقط. نستخدم أوزانًا نسبية تزيل العامل الهندسي المشترك بين الكرات، فلا نحتاج إلى استنتاج كثافة مادة أو كتلة جسيم من هذه القائمة.

مكعب القطر 1 يساوي 1، ومكعب القطر 3 يساوي 27. لذا تعطي الكرات الصغيرة الثماني مجموع أوزان 8، وتعطي الكبيرة وحدها 27. المجموع 35. هذه ليست خمسًا وثلاثين كرة؛ ما زال عدد الأجسام تسعة، وللمجموع الجديد عنوان مختلف يتعلق بالأوزان التي اخترناها للحجم.

عند حد قطر 1، الوزن الداخل 8 من 35، أي نحو 22.8571 بالمئة. وعند حد 3 تدخل الكبيرة فيصبح الداخل 35 من 35. أما حصة الكبيرة وحدها فهي 27/35، نحو 77.1429 بالمئة. هذا التحول في الحصص لم يحتج نقل كرة أو كسرها أو تغيير قطرها بين القراءتين.

الأوزان 1 و27 لا نحملها وحدة الحجم المادية نفسها كما هي. لو أردنا أحجام الكرات الهندسية، ضربنا مكعبات الأقطار في العامل المشترك π/6، مع وحدة حجم مكعبة. في النسبة سيظهر ذلك العامل في البسط والمقام فيختصر. لذلك تسمية الأوزان النسبية تمنع تحويل الرقم 35 إلى حجم مقاس اختلقناه.

ولا نستعمل مساحة الدائرة الظاهرة في الرسم وزنًا للحجم. لو أخذنا مربع القطر لأعطينا الكبيرة وزن 9، فيكون مجموع جديد 17 وحصة الصغار 8/17. ذلك حساب مختلف لم نسمه حجم كرات. الدوائر في الصورة تبين قطرًا في مستوى الرسم؛ أما مساهمة النموذج الحجمي فصرحنا بأنها بالمكعب.

نضع قاعدة صريحة لقائمتنا المنفصلة: عند أي حد، نجمع مساهمات كل قطر أصغر منه أو مساوٍ له، ونقسم على مجموع المساهمات. ثم نختار أصغر قطر موجود في القائمة وصل عنده الكسر إلى النسبة المطلوبة أو تجاوزها. هذه قاعدة حسابية مؤلفة للمسألة، وليست وصفًا لخوارزمية جهاز أو إجراء معيار.

في قراءة العدد يصل الكسر عند 1 إلى 8/9، وهو أكبر من نصف. لا يوجد قطر أصغر في قائمتنا بلغ النصف، لذلك نختار 1. وفي قراءة الحجم يكون الكسر عند 1 هو 8/35، وهو أقل من نصف؛ لا يبلغ الحد نصفًا حتى ندخل القطر 3، حيث يصبح الكسر واحدًا كاملًا.

فحص الشرط لا يحتاج تقريبًا: مقارنة 8/9 بالنصف تكافئ مقارنة 16 مع 9، ومقارنة 8/35 بالنصف تكافئ مقارنة 16 مع 35. الأولى تجاوزت والثانية لم تبلغ. نستطيع استعمال الكسور الدقيقة للاختيار، ثم تقريب النسب المئوية في العرض دون أن نجعل المنازل العشرية أساس النتيجة.

بين 1 و3 يبقى المجموع التراكمي ثابتًا في كل قراءة، لأنه لا يوجد قطر جديد يدخل. عند الحد 3 تحدث قفزة بإضافة الكرة الكبيرة. لذلك رسمنا درجات متصلة أفقيًا بين القيم وقفزات عند القيم المعلنة، دون إنشاء توزيع ناعم أو جسيمات بأقطار وسيطة لم نقدمها.

وفي التقرير الفعلي ينبغي قراءة تعريف النتيجة وطريقة عرضها. لا نقرر من قائمتي 1 و3 أن أي برنامج سيخرج الرقمين نفسيهما مهما اختلفت طريقة التحليل أو الاستيفاء. غرض البروتوكول الواضح أن يستطيع القارئ إعادة المثال كاملًا، وأن يعرف أين تنتهي شروطه عندما يعود إلى وثيقة منتج.

يميز المرجع بين المتوسط والوسيط في وصف التوزيع. [1][2] نعود إلى قائمتنا ونعلن عمليتين مختلفتين، بدل نقل اسم واحد إلى نتائج متعددة. أولاهما المتوسط الحسابي للأقطار: نجمع أقطار الأجسام التسعة ثم نقسم على عددها، دون وزن إضافي لأي خانة.

مجموع أقطار الصغار 8، ومع قطر الكبيرة 3 يصبح 11؛ القسمة على 9 تعطي نحو 1.2222 ميكرومتر. هذه النتيجة أكبر من 1 الذي اخترناه لنصف العدد. لا تعني المخالفة أن إحدى العمليتين خطأ؛ اخترنا للمتوسط جمع القيم، وللنصف قاعدة بلوغ الكسر المعلن في القائمة.

وفي العملية الثانية نعرف متوسطًا موزونًا خاصًا بنا: نضرب كل قطر في وزنه الحجمي النسبي، ونجمع النواتج، ثم نقسم على مجموع تلك الأوزان. للصغار الناتج الكلي 8×1، وللكبيرة 27×3، أي 81؛ مجموع النواتج 89 ومجموع الأوزان 35، فالناتج نحو 2.5429 ميكرومتر.

لم يصبح 2.5429 مساويًا لقطر 3 الذي اختير لنصف الحجم. كما لم يظهر في قائمتنا جسم بذلك القطر. المتوسط قد يقع بين أقطار قائمة مؤلفة دون أن يتطلب وجود جسم عنده. نعطي الصيغة والاسم لنتيجة العملية التي أجريناها، ولا ننسبها إلى رمز متوسط في جهاز لم نقرأ طريقته.

وحتى وحدة النتائج المشتركة لا تجعل وظيفتها واحدة. لدينا أقطار مختارة 1 و3، ومتوسطان نحو 1.2222 و2.5429، كلها بالميكرومتر. يحتاج عنوان الخانة إلى نوع الملخص وأساسه مع الوحدة. ترتيب هذه الأرقام من الأصغر إلى الأكبر لا يحولها إلى أربع درجات من الجودة أو أربعة أحجام مقاسة للمسحوق.

نطبق قاعدتنا نفسها عند ثلاثة كسور: عُشر، ونصف، وتسعة أعشار. هذه نسب مساهمة تراكمية نختارها للسؤال، وليست أقطارًا بالميكرومتر. لا نكتب 90 في خانة القطر لأننا طلبنا بلوغ 90 بالمئة؛ ننظر إلى أصغر قطر في القائمة بلغ ذلك الكسر وفق القاعدة المعلنة.

للعدد، الكسر عند 1 هو 8/9. يتجاوز عُشرًا ونصفًا، لكنه أقل من تسعة أعشار؛ يمكن فحص الأخيرة بمقارنة 80 مع 81. لذلك نحصل على أقطار 1 ثم 1 ثم 3 بالترتيب. قرب 88.8889 من 90 لا يكفي لتغيير الاختيار عندما تكون مدخلات المسألة دقيقة.

وللحجم، الكسر عند 1 هو 8/35. يتجاوز عُشرًا ولا يبلغ نصفًا أو تسعة أعشار. عند 3 يصبح واحدًا كاملًا، فيكون الاختيار 1 ثم 3 ثم 3. المعنى الذي ينسب Dv50 للحجم وDn50 للعدد وارد في المرجع. [2] أما الأعداد في هذه الصفوف وشرط اختيارها فمن قائمتنا.

يمكن وضع الصفين في بطاقة صغيرة، مع كتابة أساس كل صف. وجود ثلاث قيم متساوية أو قيمتين متساويتين ممكن في قائمتنا ذات القفزات؛ لا نعدل الأرقام لتبدو كأنها تباعد منتظم. وفي تفسير الجدول احتفظ بالنسب فوق الأعمدة والأقطار داخل الخانات حتى لا يختلط السؤال بالجواب.

ولو قدم شخص وسيط العدد 1 وحده، فلن نعيد منه أن العدد تسعة أو أن الأكبر قطره 3. تعرف هذه التفاصيل من القائمة التي أعطيناها، لا من ناتج النصف وحده. وبالمثل، تعطي نقاطنا الثلاث بعض المعلومات ولا تمنح دفترًا كاملًا بكل عدد وقطر؛ سنرى حالة أخرى تتفق في نقطتين وتختلف في الثالثة.

نؤلف القائمة ب مستقلة عن أ: أربع كرات قطرها 1 وخمس كرات قطرها 3. المجموع العددي تسعة أيضًا، لكن تركيب المجموع اختلف. لا نطلق عليها قياسًا ثانيًا للكرات السابقة، ولا نستنتج أن مصنعًا حوّل أربعة أجسام إلى حجم آخر؛ إنها مدخلات بديلة نعلنها لفحص الملخص.

مجموع أوزان الصغار 4، ومجموع أوزان الكبار 5×27، أي 135. المجموع 139. عند حد 1 تكون حصة الحجم 4/139، نحو 2.8777 بالمئة؛ أقل من عُشر ونصف وتسعة أعشار. لذلك لا يبلغ أي سؤال من الأسئلة الثلاثة كسره المطلوب حتى يدخل القطر 3.

تكون أقطار ب المختارة حجميًا 3/3/3، مقابل 1/3/3 لأ. تتفق قائمتانا عند 50 وعند 90 بالمئة، وتختلفان عند 10 بالمئة. لم نغير قاعدة الاختيار أو وحدة القطر أو شكل الكرة؛ اختلاف التركيب وحده يكفي لوجود أكثر من قائمة وراء الرقمين المتفقين.

وعلى أساس العدد في ب، حصة القطر 1 هي 4/9. تبلغ عُشرًا ولا تبلغ نصفًا؛ أقطار الأسئلة الثلاثة هي 1/3/3. هنا اتفق الوسيط العددي والحجمي عند 3، خلاف أ التي اختلفا فيها. ليست القاعدة أن كل أساسين يجب أن يعطيا رقمين مختلفين، بل أنه لا يجوز افتراض تطابقهما من الاسم وحده.

إذا وصلنا ملخص لا يقول إلا النصف الحجمي 3، فلن نختار أ أو ب من دون بيانات أخرى. يمكن أن يبقى الملخص صحيحًا لكلتيهما في هذا البروتوكول. طلب تفاصيل إضافية عند الحاجة إلى الطرف الأصغر له سبب حسابي ظاهر، ولا يتطلب وصف أحد السجلين بأنه رديء أو ناقص الصدق.

نعود إلى أ ونضاعف عدد كل مجموعة: ست عشرة كرة قطرها 1 وكرتان قطرهما 3. المجموع العددي 18، والمجموع الحجمي النسبي 16+54، أي 70. الكسران عند حد 1 هما 16/18 و16/70، وهما نفسا 8/9 و8/35 قبل المضاعفة.

تظل أقطار النصف المختارة 1 للعدد و3 للحجم. تغير مقدار القائمة، لكن حصصها حافظت على تركيبها النسبي. لا نقرأ من ثبات الوسيط أن عدد الأجسام ثبت أو أن حجمها الكلي بقي نفسه؛ عرفنا في هذا الفرع أن مجموع العدد ومجموع الأوزان تضاعفا معًا.

وفي فرع آخر مستقل نبقي الأعداد الأصلية، ونضاعف الأقطار إلى 2 و6. مكعباهما 8 و216، فيكون مجموع الأوزان 8×8+216، أي 280. حصة الصغار 64/280 تعيد 8/35، والعدد ما زال ثمانية من تسعة. تبقى الحصص، لكن أقطار النصف تصير 2 و6.

المقارنة هنا تحفظ ترتيب الأجسام وتضاعف كل قطر بعامل واحد. يتضاعف حجم كل كرة بثمانية في فرض الشكل، لأن مكعب الاثنين ثمانية؛ ليس باثنين فقط. لذلك تغيرت أقطار النتائج ومجموع الأوزان، بينما بقيت الكسور التي تختار موضع النصف نفسها. لا نضم هذا الفرع إلى فرع مضاعفة الأعداد كأنه إجراء واحد.

ويبين الفرعان ما يحتاج إليه سؤال المقارنة. هل تغير عدد الأجسام، أم أقطارها، أم حصص المجموع؟ نعلن المدخل الذي غيرناه قبل وصف النتيجة. لو تضاعف قطر الكبيرة وحدها بدل جميع الأقطار، لكان ذلك نموذجًا ثالثًا بأوزان مختلفة، ولا نستخدم له الحصص التي احتفظ بها الفرع المنتظم.

يعرض الرسم كرات مؤلفة وخطين تراكميين لنفس القائمة أ. محور القطر بالميكرومتر، ومحور النسبة بالمئة. العلامة عند النصف تستعمل القاعدة التي شرحناها؛ لا تنسخ منحنى شركة أو نتيجة اختبار. والدوائر تصور الأقطار في مساحة الرسم، بينما الخط الحجمي حسب أوزان المكعب التي كتبناها.

عندما يعود القارئ إلى تقرير مورد، يحتفظ باسم الأساس والوحدة وتعريف الملخص والطريقة المعروضة. قد تساعده القائمة في صياغة سؤال دقيق عن معنى خانة، لكنها لا تمنحه طريقة تشغيل جهاز أو تحويل كل منحنى إلى تسع كرات. لا نملأ معلومات تقرير غائبة من قيم اختيرت لتوضيح الفكرة.

ولا تكفي نتيجة منفردة للحكم على صلاحية مادة لتطبيق صناعي. لم نقدم تركيب المادة أو شكل أجسام فعلية أو مواصفة منتج أو نتائج استعمال. تظهر أ وب كيف يتفق ملخصان مع اختلاف تركيبين مؤلفين؛ تحويل ذلك الاتفاق إلى شهادة جودة يحتاج معلومات لم تكن جزءًا من حسابنا.

اختيار الكلمات يحفظ هذا الفصل أيضًا: نقول قطر عندما نعني القطر، وعددًا عندما نعد الأجسام، ووزنًا نسبيًا عندما نجمع المكعبات المختصرة. بذلك يستطيع القارئ تتبع كل عملية إلى مدخلاتها. ليست كلمة حجم وحدها كافية لوصف كل خانات الجدول عندما يتناوب المقصود بين قطر وحجم هندسي ومجموع مساهمات.

والنتيجة التي نأخذها من التمرين محددة: نفس القائمة لا تضمن نفس موضع النصف عند تبديل أساس القراءة، والنصف المتفق لا يعيد القائمة كاملة. احتفظ بتعريف الرقم قبل مقارنته برقم آخر، ثم اطلب التفاصيل التي تجيب عن السؤال الذي تريد بحثه بدل مطالبة ملخص واحد بإعادة كل البيانات.