عكس نطاق سعر الصرف: التماثل لا يبقى في النسب

النطاق ⁦8–12⁩ ر لكل ف ينقلب إلى ⁦1/12–1/8⁩ ف لكل ر، لا إلى مجال متناظر حول ⁦1/10⁩. الانخفاض عن ⁦0.1⁩ نحو ⁦16.666667%⁩، والارتفاع ⁦25%⁩، رغم تماثل المجال الأول بنسبة ⁦20%⁩ حول ⁦10⁩.

• في الحالة الدنماركية المنشورة: المركز ⁦746.038⁩ كرونة لكل مئة يورو، والنطاق الضيق ⁦±2.25%⁩، والحدان ⁦729.252⁩ و ⁦762.824⁩ كرونة لكل مئة يورو. [1] هذه حالة مسماة؛ بقية الأعداد فروع تعليمية لا أسعار منشورة أو ضمان تنفيذ.
• نطاقنا الموجب ⁦8–12⁩ ر لكل ف مركزه ⁦10⁩ ، أي ⁦±20%⁩. التسعير المعاكس يعطي الحد الأدنى ⁦1/12⁩ ، نحو ⁦0.083333⁩ ف لكل ر، والأعلى ⁦1/8=0.125⁩ ؛ مقلوب المركز ⁦0.1⁩. ينقلب ترتيب الطرفين.
• المسافة من ⁦0.1⁩ إلى ⁦1/12⁩ تعطي نقصًا نسبيًا قدره ⁦1/6⁩ ، نحو ⁦16.666667%⁩، وإلى ⁦1/8⁩ تعطي زيادة ⁦25%⁩. نقل ⁦±20%⁩ إلى ⁦0.1⁩ يصنع ⁦0.08–0.12⁩ ، وهو مجال مختلف عن تحويل حدودنا.
• متوسط طرفي المجال المعاكس ⁦5/48⁩ ، نحو ⁦0.104167⁩ ، لا ⁦0.1⁩ ؛ و ⁦0.1⁩ مقلوب متوسط ⁦8⁩ و ⁦12⁩. عرض المجال المعاكس ⁦1/24⁩ ، نحو ⁦0.041667⁩ ف لكل ر. ليس الوسط احتمالًا أو سعرًا رصدناه.
• مبلغ ثابت ⁦100⁩ ف يقيم بين ⁦800⁩ و ⁦1200⁩ ر؛ مبلغ ثابت ⁦1000⁩ ر يشتري بين ⁦83.333333⁩ و ⁦125⁩ ف. عند سعر ⁦8⁩ يصل الأول إلى ⁦800⁩ والثاني إلى ⁦125⁩ ، فلا نطابق نهايتي العمودين الدنيا آليًا.
• عرض السعر لكل مئة ف يجعل الحدود ⁦800–1200⁩ ر والمركز ⁦1000⁩. السعر المعاكس لكل مئة ر هو ⁦100/12–100/8⁩ ف؛ النسب عن المركز لا تتغير. تغيير الوحدة لا يصنع نطاق سياسة جديدًا.
• في فرع مستقل ⁦±10%⁩ حول ⁦10⁩ ، الحدود ⁦9–11⁩ ؛ عكسها ⁦1/11–1/9⁩ حول ⁦0.1⁩ يعطي نحو ⁦−9.090909%⁩ و ⁦+11.111111%⁩. كلما غيرنا عرض النطاق أعدنا حدوده، ولا نخلط فروعًا مستقلة.
• يلزم مجال موجب وحدوده معلومة. إذا اقترب الحد الأدنى من الصفر بلا حد موجب ثابت، لا ينتج أعلى محدود للمقلوب. وإذا كان السعر معروفًا فقط داخل المجال، نحفظ المجال دون ادعاء سعر أو متوسط متوقع.

تكتب سارة في ورقة مؤلفة «عشر ر لكل ف». هذا يعني أن وحدة ف واحدة تقابل عشر وحدات ر في تقييمنا. إذا أردنا ما تقابله وحدة ر، نقسم واحدًا على عشرة، فنحصل على عُشر ف لكل ر. لم يصبح السعر سالب عشر، ولم نستبدل العملتين في الكلمات مع الإبقاء على الرقم عشرًا. اتجاه القسمة مرتبط بحجم الوحدة التي نسأل عنها، وليس بتفضيل في طريقة عرض الورقة.

نضع بطاقتين في المركز: مئة ف قيمتها ألف ر، وألف ر يقابلها مئة ف. اتفقتا على العلاقة نفسها لأن القسمة والضرب استعملا السعر عينه. لكن البطاقة الأولى تثبت مقدار ف قبل متابعة تغيّر التقييم، والثانية تثبت مقدار ر قبل متابعة كمية ف المقابلة. إذا تحرك السعر، لا نفترض أن المبلغين يبقيان ثابتين معًا في سجل واحد؛ يجب أن نسمي ما الذي ثبتناه في كل فرع.

كل العمليات التالية تفترض سعرًا موجبًا دون تكاليف، وتصف علاقة حسابية واحدة في كل لقطة. لم نعط سعر شراء منفصلًا عن سعر بيع أو وصولًا لصفقة أو قيود موارد. لذلك لا يجعل توافق البطاقتين التحويل ذهابًا وإيابًا عملية مصرفية ممكنة بنفس الشروط لكل عميل. حدود تجربتنا تعزل تغيير اتجاه الكسر، ثم نحتفظ بهذا النطاق حين نقارن النتائج ولا نضيف وقائع تنفيذ غير معطاة.

يذكر الوصف الرسمي الحالة المحددة في الخلاصة. [1] وحدته كرونة لكل مئة يورو، لا لكل يورو واحد. بقسمة الأعداد الثلاثة على مئة نحصل على مركز ⁦7.46038⁩ وحدين ⁦7.29252⁩ و ⁦7.62824⁩ كرونة لكل يورو. هذه إعادة تعبير عن صف مسمى، وليست قراءة لسعر تداول خلال اليوم أو تعديلًا لمعدل مركزي من عندنا. نحفظ وحدة المئة في النسخة الأصلية ثم نبين لماذا تغير عدد العرض.

توضح هذه البطاقة أن اسم النطاق لا يعفي القارئ من قراءة عنوان السعر. لو نقل شخص ⁦746.038⁩ إلى ورقة عنوانها كرونة لكل يورو واحد، فقد ضاعف القيمة مئة مرة من غير حركة سوق. ويكفي التحقق من مئة يورو في الاتجاهين لكشف الخطأ: السعر الصحيح لكل يورو يعيد ⁦746.038⁩ كرونة للمئة. لا نحتاج إلى معرفة تاريخ صفقة معينة كي نفحص اتساق الوحدة الحسابية المكتوبة.

أما تجربتنا الرئيسة فمركزها عشر ر وحدودها ثمان واثنتا عشرة، كي يظهر أثر العكس بوضوح أكبر. ليست النسبة عشرين بالمئة نطاقًا للدنمارك أو لأي ترتيب رسمي سميناه. وجود مثال منشور بجوار مثال مؤلف لا يمنحهما مصدر الأعداد نفسه. في كل جدول سنفصل اسم الحالة عن نوع المدخلات، ونستعمل المركز وحدوده كما عُرّفت في فرعه، بدل تركيب مركز رسمي مع نسبة اخترناها للتعليم.

في الحد الأول من ورقتنا، ف واحدة تقابل ثماني ر، ولذلك ر واحدة تقابل ثُمن ف، أي صفر فاصلة مئة وخمسًا وعشرين من ف. وفي الحد الثاني تقابل ف اثنتي عشرة ر، فيقابل ر جزءًا من اثني عشر من ف، نحو صفر فاصلة صفر ثمانية ثلاثة ثلاثة ثلاثة ثلاثة. الرقم الأصغر في الاتجاه الأول ولد الرقم الأكبر في الاتجاه المعاكس، وليس صفًا أخطأنا في ترتيبه عند النقل.

نرتب المجال المعاكس من الأدنى إلى الأعلى فنكتب جزءًا من اثني عشر حتى جزء من ثمانية. إذا احتفظنا بتسلسل صفوف المصدر يمكن أن يظهر الأكبر أولًا، لكن علينا بيان اسم الطرف في كل صف بدل ترك عنوان أدنى فوقه. الرسم الأصلي يضع حدَّي كل اتجاه على محور خاص به، ويحفظ المركز في كل واحد. المواضع على المحورين ليست مقارنة أطوال بوحدة اقتصادية واحدة؛ لكل محور وحدة سعر معلنة.

وللتأكد، نختار سعرًا داخل المجال، عشر ر لكل ف، ومقلوبه عُشر ف لكل ر. يقع العُشر بين الطرفين المعاكسين. ونختار إحدى عشرة ر لكل ف، فيقابلها جزء من إحدى عشرة، نحو صفر فاصلة صفر تسعة صفر تسعة صفر تسعة ف لكل ر، وهو داخل المجال أيضًا. لا نحدد احتمال هذا السعر أو ترتيبه الزمني؛ نستخدمه اختبارًا لقيمة داخل مجموعة معطاة من الأسعار الموجبة.

في الاتجاه الأول، الفرق بين المركز عشر والحد الأدنى ثمان يساوي اثنتين، والفرق إلى الأعلى اثنتي عشرة يساوي اثنتين أيضًا. بقسمة كل فرق على عشر نحصل على عشرين بالمئة. هذا هو التماثل الذي فرضناه. بعد العكس لا نحتفظ بهذه المسافة العددية: المركز عُشر، والأعلى ثُمن، والفرق بينهما واحد على أربعين، أي صفر فاصلة صفر اثنتين وخمسًا. قسمته على العُشر تعطي ربعًا، أو خمسًا وعشرين بالمئة.

والمسافة إلى الحد الأدنى جزء من اثني عشر هي جزء من ستين، نحو صفر فاصلة صفر واحد ستة ستة ستة سبعة. قسمتها على العُشر تعطي سُدسًا، نحو ست عشرة فاصلة ست ست ست ست سبعة بالمئة. إذن الجانبان غير متساويين عند قياسهما نسبة إلى مقلوب المركز. لم يتغير المجال الأصلي، وإنما تغير المقام في التعبير عن كل حركة عند كتابة السعر الآخر.

إذا نقلنا عشرين بالمئة كما هي إلى العُشر، حصلنا على حدين صفر فاصلة صفر ثمانية وصفر فاصلة اثنتي عشرة. مقلوب الأول اثنتا عشرة فاصلة خمس ر لكل ف، ومقلوب الثاني نحو ثماني فاصلة ثلاث ثلاث ثلاث ثلاث ثلاث. هذه ليست ثمانًا واثنتي عشرة. ويمكن كشف اختلاف المجال بأخذ مقلوب كل نهاية بدل الاكتفاء بملاحظة أن المجال البديل قريب من الرسم؛ التشابه التقريبي لا يثبت أن التحويل كان صحيحًا.

متوسط ثماني ر واثنتي عشرة ر لكل ف يساوي عشرًا، ومقلوبه عُشر ف لكل ر. لكن إذا عكسنا الطرفين أولًا ثم حسبنا متوسطهما، نجمع جزءًا من اثني عشر وجزءًا من ثمانية، فنحصل على خمسة أجزاء من أربعة وعشرين، ثم نقسم على اثنين؛ النتيجة خمسة على ثمانية وأربعين. قيمتها نحو صفر فاصلة واحد صفر أربعة واحد ستة سبعة، أو ⁦0.104167⁩ عند التقريب إلى ست منازل.

الفرق بين هذا المتوسط والعُشر يساوي واحدًا على مئتين وأربعين، نحو صفر فاصلة صفر صفر أربعة واحد ستة سبعة. في الرسم يبقى مقلوب المركز محددًا باسمه، ولا ننقله إلى منتصف المسافة بين الطرفين لمجرد أن كلمة مركز توحي بذلك. كل من الرقمين نتج من ترتيب عمليات مختلف: متوسط ثم مقلوب، أو مقلوبان ثم متوسط. إعادة كتابة الكسرين تكفي للتحقق من سبب عدم تطابقهما في هذا الفرض.

ولا نسمّي خمسة على ثمانية وأربعين سعرًا متوقعًا. لم نعط احتمال كل قيمة داخل المجال أو مشاهدات تاريخية تستخرج منها قراءة متوسطة. حتى لو فرضنا لاحقًا احتمالًا متساويًا للطرفين وحدهما، صار ذلك نموذجًا احتماليًا جديدًا، مختلفًا عن مجرد معرفة مجال. أما ورقتنا الحالية فلا تحتاج هذا الفرض كي تقيس عرض المجال المعاكس: ثُمن ناقص جزء من اثني عشر يساوي واحدًا على أربعة وعشرين، بوحدة ف لكل ر.

نثبت أولًا مئة ف في كل حالة. عند السعر ثمان تكون قيمتها ثمانمئة ر، وعند عشر تكون ألفًا، وعند اثنتي عشرة تصبح ألفًا ومئتين. المجال للمبلغ المحلي ثمانمئة إلى ألف ومئتين، والمسافة إلى قيمة المركز متناظرة بمئتين. استعملنا كمية واحدة ثابتة من ف في الصفوف كلها، ولذلك لا يدخل في هذا الجدول قرار شراء كمية مختلفة مع تغير السعر.

في ورقة مستقلة نثبت ألف ر، ونحسب ما يقابلها من ف. عند ثمان نحصل على مئة وخمس وعشرين ف، وعند عشر على مئة، وعند اثنتي عشرة على ثلاثة وثمانين وثلث ف. مجال الكمية الأجنبية هو الأصغر ثلاثة وثمانون وثلثًا إلى الأكبر مئة وخمس وعشرين. هذه ليست نفس قائمة المبالغ السابقة بوحدة عرض أخرى؛ لقد ثبتنا مبلغًا مختلفًا قبل التحويل، وبقيت العلاقة السعرية لكل صف واحدة.

وعند بناء جدول يجمع العمودين لا نضع الحد الأدنى للأول بجوار الحد الأدنى للثاني ونقول إنهما نتجا من لقطة واحدة. سعر ثمان يعطي ثمانمئة ر للمئة ف ويعطي مئة وخمسًا وعشرين ف للألف ر. أما أدنى كمية في الورقة الثانية فتخص سعر اثنتي عشرة. حفظ السعر بجوار الصف يمنع تركيب حالة افتراضية بين نهايتين من سعرين مختلفين، خصوصًا حين ينقل شخص حدودًا فقط دون قائمة الحساب كاملة.

نكتب الآن سعر ورقتنا لكل مئة ف بدل ف واحدة. المركز ألف ر، والحدان ثمانمئة وألف ومئتين ر لكل مئة ف. ضربنا جميع أسعار الاتجاه الأول في مئة، ولم نغير أي علاقة اقتصادية في المسألة. كذلك إذا أردنا ف لكل مئة ر بدل ر واحدة، ضربنا كل سعر معاكس في مئة؛ المركز عشر ف، والحدان ثمانية وثلث واثنتا عشرة ونصف ف لكل مئة ر.

النقص عن عشر إلى ثمانية وثلث ما زال سُدسًا من المركز، والزيادة إلى اثنتي عشرة ونصف ما زالت ربعًا. اختزل عامل المئة في البسط والمقام عند حساب النسبة. لذلك لا يصح إرجاع اختلاف نسب الجانبين إلى اختيارنا وحدة ر صغيرة أو عرض الكرونة لكل مئة يورو في البطاقة الرسمية؛ تماثل النسب أو اختلافها يتعلق بعملية المقلوب، لا بالضرب المشترك في وحدة العرض.

وفي فرع مستقل أضيق نختار عشر ر مركزًا ونطاقًا نسبته عشرة بالمئة: تسع إلى إحدى عشرة. المجال المعاكس جزء من إحدى عشرة إلى جزء من تسع حول العُشر، فينخفض نحو تسع فاصلة صفر تسعة صفر تسعة صفر تسعة بالمئة ويرتفع نحو إحدى عشرة فاصلة واحد واحد واحد واحد واحد بالمئة. لم تبق النسب متساوية، وإن كان الفرق أصغر من الفرع الأوسع. لكل فرع حدوده ومركزه، فلا نلصق نسبة هذا الفرع بنتائج ثمان واثنتي عشرة.

نفترض في المسألة الرئيسة أن الطرفين موجبان ومعلومان. إذا لم نعرف سوى أن السعر موجب ولا يزيد على اثنتي عشرة، فقد اقترب من الصفر بأي مقدار صغير دون أن ينعدم. عندئذ لا نملك حدًا أعلى محدودًا للمقلوب: سعر عُشر يعطي مقلوبًا عشرة، وسعر جزء من مئة يعطي مقلوبًا مئة. ليست هذه أسعارًا رصدناها، بل اختبارات تكشف ما لا تسمح المعلومات الناقصة باستنتاجه.

وفي حالة أخرى تكون الحدود ثماني ر واثنتي عشرة ر معلومة، لكن السعر الفعلي داخلها غير معلوم. نستطيع تحويل المجال كاملًا كما فعلنا، ولا نثبت رقمًا واحدًا لبطاقة دفع مؤرخة. أخذ المركز عشرًا اختيار افتراضي إضافي، لا حقيقة خرجت من معرفة الحدود وحدها. وبالمثل، غياب اتجاه السعر يمنع استعمال مقلوب تلقائي؛ يجب استعادة الوحدة التي كان يشير إليها الرقم قبل اختيار الضرب أو القسمة.

يمكن التحقق من مجالنا بإجراء العكس مرتين: مقلوب الطرف الأعلى ثُمن يعيد ثماني ر لكل ف، ومقلوب الأدنى جزء من اثني عشر يعيد اثنتي عشرة، ثم يرتب المجال الأصلي من جديد. يحفظ هذا الاختبار الطرفين والوحدة، دون ادعاء تناظر بعد التحويل أو توقع حركة داخل المجال. الناتج مفيد لقراءة ورقة محددة؛ لا يقرر مشاركة بلد أو تغيير سياسة أو نجاح تحويل فعلي تحت رسوم لم نعطها.