تصف الزاوية الصلبة اتساع منطقة من الاتجاهات حول نقطة نظر، وتقاس بالستيراديان. ولحسابها من سطح كروي نحتاج إلى مساحة المنطقة ونصف قطر الكرة، لا إلى حجمها. [3] سنطبق ذلك على مسائل مؤلفة، ثم نفحص الوحدات والتداخل ومعنى النسبة الناتجة.
الخلاصة السريعة
احسب الزاوية الصلبة بقسمة مساحة الجزء على السطح الكروي على مربع نصف القطر، بشرط أن تكون نقطة النظر في المركز. [1]
- الستيراديان يقيس زاوية صلبة، بينما الراديان يقيس زاوية مستوية؛ لا يكفي تشابه الأرقام لمساواة القياسين. [1]
- في مثالنا، مساحة ثمانية عشر مترًا مربعًا على كرة نصف قطرها ستة أمتار تعطي نصف ستيراديان.
- وحّد وحدات المساحة ومربع الطول؛ تحويل المتر إلى سنتيمتر يختلف عن تحويل المتر المربع إلى سنتيمتر مربع.
- الكرة الكاملة تقابل أربعة باي ستيراديان؛ لذلك تختلف نسبة المنطقة إلى الكرة عن نسبتها إلى نصف الكرة. [2]
- عند جمع منطقتين متداخلتين، اطرح زاوية الجزء المشترك مرة واحدة كي لا تحسبه مرتين.
- المساحة المطلوبة تقع على سطح الكرة؛ مساحة قرص مسطح أو صورته لا تحل محلها تلقائيًا. [3]
- راجع الحل عكسيًا بإعادة حساب المساحة، وحدد نقطة النظر والمرجع الكامل الذي تقارن به.
ما الذي يقيسه الستيراديان؟
يعرض المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقنية الزاوية الصلبة بالعلاقة Ω = A / r²، حيث تمثل المساحة جزءًا من سطح كرة نصف قطرها معلوم. رمز الوحدة هو sr، وتقابل وحدة واحدة مساحة تساوي مربع نصف القطر. أما الزاوية المستوية بالراديان فتربط طول قوس بنصف قطره. [1]
لنفترض أنك تعمل على نموذج تعليمي، وتلوّن منطقة على كرة شفافة، ثم تضع نقطة صغيرة في مركزها. السؤال ليس مقدار الطلاء المستخدم، ولا كمية الهواء داخل الكرة، بل مقدار الاتجاهات الخارجة من النقطة والتي تصل إلى المنطقة الملونة. يساعدك هذا التصور على قراءة ورقة المسألة: ابحث عن مساحة سطحية محددة، لا عن حجم الكرة أو طول الحافة المحيطة باللون.
ولتنظيم الحل، ارسم ثلاث خانات قبل إدخال الأرقام: مساحة المنطقة، ونصف القطر، والزاوية المطلوبة. اكتب اسم الكمية مع وحدتها في كل خانة. إذا وجدت في السؤال «قطر الكرة اثنا عشر مترًا»، فاكتب نصف القطر ستة أمتار قبل التربيع. وضع الاثني عشر مباشرة في المقام سيغيّر الإجابة حتى لو كانت بقية خطوات القسمة صحيحة تمامًا.
لا تحتاج إلى تحويل المثال إلى قياس فعلي كي تتدرب عليه. سنفترض أن المساحات الآتية معطاة بدقة لأغراض الحساب، وأن جميع الكرات لها نقطة النظر في مركزها. الصورة المرافقة تقريب بصري لفكرة السطح المنحني، وليست مصدرًا لأبعاد التمرين. لا تقس البقعة الظاهرة على الشاشة بمسطرة، لأننا لم نحدد مقياسًا للصورة أو زاوية التصوير أو مساحة بقعتها.
ثلاث بطاقات تفصل المساحة عن الزاوية
في البطاقة الأولى، مساحة البقعة ثمانية عشر مترًا مربعًا، ونصف قطر الكرة ستة أمتار. نربع الستة فنحصل على ستة وثلاثين، ثم نقسم الثمانية عشر عليها؛ النتيجة نصف ستيراديان. اكتب خطوة التربيع مستقلة إذا كنت تتعلم العلاقة للمرة الأولى. قسمة المساحة على ستة فقط تعطي ثلاثة، لكنها تستخدم نصف القطر بدل مربعه، فلا تجيب عن السؤال المطلوب.
في البطاقة الثانية، نصف القطر اثنا عشر مترًا، ومساحة البقعة اثنان وسبعون مترًا مربعًا. مربع الاثني عشر مئة وأربعة وأربعون، وقسمة الاثنين والسبعين عليه تعطي نصف ستيراديان أيضًا. كبرت المساحة أربع مرات، وكبر مربع نصف القطر أربع مرات معها. لذلك لا يكفي قول إن البقعة الثانية أكبر لكي تستنتج أنها تشغل زاوية صلبة أكبر من المركز.
في البطاقة الثالثة، أبقِ نصف القطر اثني عشر مترًا، لكن أعد المساحة إلى ثمانية عشر مترًا مربعًا. تصبح النتيجة ثمانية عشر على مئة وأربعة وأربعين، أي ثمن ستيراديان، أو 0.125 sr. هذه البطاقة لا تصف تكبير النموذج الأول مع الحفاظ على حدوده الزاوية؛ إنها بقعة لها المساحة العددية نفسها على كرة أكبر. الفرق في وصف التجربتين يفسر الفرق في الناتج.
قارن البطاقات بسؤالين منفصلين: أي مساحة أكبر، وأي زاوية أكبر؟ الثانية أكبر مساحة، لكن الأولى والثانية متساويتان زاوية، والثالثة أصغر زاوية منهما. إذا رتبت البطاقات بحسب عمود واحد فقط، فستفقد هذه النتيجة. دوّن إلى جانب كل جواب ما الذي ثبت وما الذي تغير، بدل اختصار الحالات الثلاث في عبارة عامة مثل «الكرة الكبيرة تعطي زاوية صغيرة».
وحّد وحدات المساحة والطول
نصغر الآن أرقام النموذج التعليمي: مساحة البقعة ألف وثمانمئة سنتيمتر مربع، ونصف القطر ستون سنتيمترًا. مربع الستين ثلاثة آلاف وستمئة، فتكون القسمة نصفًا. لا توجد مشكلة في استخدام السنتيمتر هنا ما دام البسط بالسنتيمتر المربع والمقام مربع طول بالسنتيمتر. كتابة «متر» في آخر النتيجة ستكون خطأ آخر؛ الناتج زاوية صلبة، لا طول جديد.
لإعادة الحل بالمتر، يتحول نصف القطر إلى ستة أعشار المتر، وتتحول المساحة إلى ثمانية عشر جزءًا من مئة متر مربع. نربع الستة أعشار فنحصل على ستة وثلاثين جزءًا من مئة، ثم نقسم 0.18 على 0.36 فنعود إلى النصف نفسه. احتفظ بنسختي الحل في ورقتك؛ تطابقهما يكشف أن تغيير الوحدة لم يغير النموذج الذي تحسبه.
أما إذا حولت ألفًا وثمانمئة سنتيمتر مربع إلى ثمانية عشر مترًا مربعًا، فقد قسمت على مئة بدل عشرة آلاف. هذه المساحة الخاطئة مع نصف قطر مقداره ستة أعشار المتر تعطي خمسين ستيراديان. لا تبدأ بتعديل المعادلة لتناسب الناتج؛ ارجع إلى تحويل المساحة. المربع الذي طول ضلعه متر واحد يحتوي على مئة سنتيمتر في كل اتجاه، لا على مئة سنتيمتر مربع فقط.
وقد يقع خطأ معاكس عندما تحوّل المساحة إلى المتر المربع وتترك نصف القطر مكتوبًا بالسنتيمتر. سيصبح المقام كبيرًا مقارنة بالبسط من دون أن تكون المنطقة قد تغيرت. لتجنب ذلك، اكتب وحدة كل مدخل قبل التعويض، ثم احذفها جبريًا بعد التربيع. لا تعتمد على أن الآلة الحاسبة ستفهم اختلاف الوحدات من الرقم وحده؛ أنت من يحدد معنى الأرقام المدخلة.
نسبة إلى الكرة أم إلى نصفها؟
توضح جامعة سوينبرن أن الكرة كاملة، من نقطة في مركزها، تقابل زاوية صلبة مقدارها أربعة باي ستيراديان، أي نحو اثني عشر فاصلة سبعة وخمسين. ويرتبط ذلك بمساحة سطح الكرة، وهي أربعة باي مضروبة في مربع نصف القطر. هذا المرجع الكامل يتيح التعبير عن جزء من الاتجاهات كنسبة من الجميع. [2]
لنعد إلى نصف الستيراديان في البطاقة الأولى. بقسمته على أربعة باي، ثم ضرب الناتج في مئة، نحصل على نحو ثلاثة فاصلة ثمانية وتسعين بالمئة من الكرة الكاملة. قرّبنا النتيجة إلى منزلتين عشريتين، ولم نحول نصف الستيراديان إلى نصف الكرة. كلمة «نصف» في مقدار الزاوية تعني نصف وحدة واحدة، لا نصف المرجع الكامل الذي يتكون من أكثر من اثنتي عشرة وحدة.
أما نصف الكرة فمرجعه اثنان باي ستيراديان. إذا كانت البقعة كلها داخله، فإن نصف الستيراديان يمثل نحو سبعة فاصلة ستة وتسعين بالمئة منه. القيمة الثانية تقارب ضعف الأولى لأن المقام صار نصفه، لا لأن البقعة اتسعت. لذلك يجب أن تسأل عن المقصود حين تقرأ عبارة «يغطي نحو ثمانية بالمئة»: هل المقارنة مع نصف الكرة المحدد، أم مع جميع الاتجاهات المحيطة؟
ولتمرين معاكس، افترض منطقة تشغل ثمن الكرة الكاملة. زاويتها تساوي أربعة باي مقسومة على ثمانية، أي باي على اثنين ستيراديان. وإذا وضعتها على كرة نصف قطرها أربعة أمتار، كانت مساحة البقعة ثمانية باي أمتار مربعة، لأن مربع نصف القطر ستة عشر. احتفظ بباي في الحل الوسيط؛ يمكنك تقريب العدد في النهاية دون أن تراكم تقريبات غير لازمة أثناء الحساب.
اجمع المناطق دون تكرار الجزء المشترك
نتخيل الآن منطقتين على الكرة نفسها، ومن نقطة النظر نفسها: الأولى زاويتها ثلاثة أرباع ستيراديان، والثانية نصف ستيراديان، وبينهما جزء مشترك مقداره ثمن ستيراديان. نريد مقدار الاتجاهات التي تنتمي إلى إحداهما على الأقل. الجمع المباشر يعطي واحدًا وربعًا، لكنه يحسب الاتجاهات المشتركة مرتين؛ لذا نطرح الثمن مرة واحدة ونحصل على تسعة أثمان، أو 1.125 sr.
يمكنك فحص الناتج بتقسيم الرسم إلى ثلاثة أجزاء لا تتداخل. الجزء الخاص بالأولى يساوي ثلاثة أرباع ناقص ثمن، أي خمسة أثمان. والخاص بالثانية يساوي نصفًا ناقص ثمن، أي ثلاثة أثمان. يبقى الثمن المشترك، فنحصل على خمسة أثمان وثلاثة أثمان وثمن واحد: تسعة أثمان. هذا الحساب الثاني يعيد بناء الاتحاد بدل الاعتماد على حفظ قاعدة الطرح وحدها.
إذا كانت الكرة نصف قطرها أربعة أمتار، فمساحة الاتحاد في هذا التمرين ثمانية عشر مترًا مربعًا. ومساحتا المنطقتين اثنا عشر وثمانية أمتار مربعة، بينما المشتركة متران مربعان. تحقق من المسار الآخر: اثنا عشر زائد ثمانية ناقص اثنين يساوي ثمانية عشر. توافق حساب المساحة وحساب الزاوية يفيد في اكتشاف موضع خطأ محتمل في النسخ أو التربيع أو تكرار الجزء المشترك.
لكن معرفة زاويتي المنطقتين وحدها لا تكفي لتحديد اتحادهما. لو لم يُعطَ الثمن المشترك، لاحتجت إلى وصف العلاقة بينهما أو إلى قيمة التداخل. ولا تجمع قياسين مأخوذين من نقطتي نظر مختلفتين كما لو كانا منطقتين على كرة مرجعية واحدة. اكتب هذا الشرط في مقدمة المسألة؛ فهو جزء من تعريف الأجزاء التي ستجمعها، وليس ملاحظة تجميلية تضاف بعد الحساب.
لا تستبدل السطح المنحني بصورة مسطحة
تربط جامعة خرونينغن الزاوية الصلبة بالحيز الذي يغطيه جسم من مجال النظر، وتكتب المساحة في العلاقة على سطح الكرة. لهذا لا يكفي أن تعرف مساحة وجه مسطح أمامك لتضعها مباشرة في مكان المساحة الكروية؛ وصف سطح القياس وموقع نقطة النظر ضروريان لتطبيق العلاقة كما وردت. [3]
افترض أن طالبًا أعطاك صورة للبقعة في نموذجنا، وقال إن مساحتها على الورقة عشرة سنتيمترات مربعة. لا يمكن تحويل هذا الرقم وحده إلى الستيراديان. قد يصغر المصور الصورة أو يكبرها قبل الطباعة، وقد يظهر جزء من السطح مائلًا. ما قيس هنا مساحة حبر أو بكسلات في صورة، بينما مساحة التمرين معطاة على سطح النموذج نفسه. يحتاج الانتقال بينهما إلى معلومات إضافية.
كذلك لا تستنتج زاوية صلبة من عبارة «اتساعه عشرون درجة» دون معرفة ما تصفه. ربما يكون الرقم عرض منطقة أو نصف زاوية رأس مخروط أو امتدادًا في اتجاه واحد. في تمريننا لم نحتج إلى تخمين شكل المنطقة من رقم عرض؛ أعطينا مساحتها الكروية صراحة. إذا تغير نوع المعطيات، فغيّر طريقة الحل المناسبة لها بدل إكراه الأرقام الجديدة على الخانات القديمة.
ولفحص تقرير دراسي، تخيل أن عنوان العمود هو «مساحة البقعة» فقط. اطلب تحديد ما إذا كانت مساحة كروية، أو مساحة قرص، أو مساحة في لقطة مطبوعة. بعد ذلك حدد مركز الكرة ووحدة نصف القطر. قد يكون التقرير ناقص الوصف رغم أن القسمة المكتوبة فيه صحيحة عدديًا. وصف القياس هو الذي يجعل العملية جوابًا عن السؤال، لا مجرد علاقة بين عددين متاحين.
اختبر فهمك بحساب عكسي
في مسألة أولى مؤلفة، زاوية البقعة أربعة أعشار ستيراديان، ونصف القطر خمسة أمتار. بدل القسمة نضرب الزاوية في مربع نصف القطر: أربعة أعشار في خمسة وعشرين تساوي عشرة أمتار مربعة. أعد إدخال العشرة في العلاقة الأصلية، فتحصل على أربعة أعشار. هذه المراجعة تفحص العملية والوحدة، لكنها لا تثبت أن مساحة افتراضية قِيست في الواقع؛ المسألة حساب على معطيات محددة.
في مسألة ثانية، نعرف المساحة وهي سبعة وعشرون مترًا مربعًا، والزاوية وهي ثلاثة أرباع ستيراديان، ونبحث عن نصف القطر. نقسم السبعة والعشرين على ثلاثة أرباع فنحصل على ستة وثلاثين، وهذه قيمة مربع نصف القطر. نأخذ الجذر الموجب فنجد ستة أمتار. لا تتوقف عند الستة والثلاثين وتكتب أنها طول؛ لقد وصلت حينها إلى مربع الطول فقط.
وفي سؤال ثالث، راجع النتيجة الخاطئة السابقة: خمسون ستيراديان لبقعة واحدة على كرة. إنها أكبر من المرجع الكامل، أربعة باي، فلا تصلح وصفًا لجزء عادي من السطح محسوب مرة واحدة. كان خطؤنا المحدد في تحويل السنتيمتر المربع إلى المتر المربع. يساعدك هذا الحد في اكتشاف المشكلة، لكن تشخيص سببها يحتاج إلى الرجوع إلى خطواتك، لأن أكثر من خطأ قد ينتج عددًا كبيرًا. [2]
اكتب الحل النهائي في جملة تجمع المعنى والرقم: «تشغل البقعة نصف ستيراديان من مركز الكرة، أي نحو ثلاثة فاصلة ثمانية وتسعين بالمئة من جميع الاتجاهات». ثم احتفظ بمعطيات المساحة ونصف القطر والوحدات بجوارها. وإذا كان الحساب لاتحاد مناطق، أضف مقدار التداخل. بهذه الصياغة يستطيع قارئ آخر إعادة النتيجة، ومعرفة مرجع النسبة، وتمييز المساحة السطحية من قياس الزاوية الذي استُخرج منها.
المصادر ومتابعة القراءة
- المعهد الوطني الأمريكي للمعايير والتقنية: الزوايا ووحداتها (يفتح في نافذة جديدة)nist.gov
- جامعة سوينبرن: الستيراديان (يفتح في نافذة جديدة)astronomy.swin.edu.au
- جامعة خرونينغن: الزاوية الصلبة (يفتح في نافذة جديدة)rug.nl
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.