صحة إكمال سودوكو وفرادة الحل ليستا معلومة واحدة. قد تفحص شبكة كاملة فتجد أن أرقامها تحقق القيود، لكن ذلك لا يثبت أن المعطيات لا تسمح بإكمال آخر. سؤال صحة هذه الشبكة يختلف عن سؤال هل هي الشبكة الممكنة الوحيدة؟
نبني هنا لوحة تدريب أصلية من63 رقمًا معطى و18 خانة فارغة، ونعرض إكمالين مختلفين لها. لا نقدمها كلغز موثق وحيد الحل أو كنسخة من لغز نشرته Nikoli. الغرض أن ترى الفرق وتعرف أي ادعاء يثبته كل فحص.
الخلاصة السريعة
إكمال صحيح يطابق القيود والمعطيات، أما الحل الوحيد فيحتاج إلى استبعاد كل بديل صحيح. في لوحة التدريب المعروضة لدينا إكمالان صحيحان مختلفان، ولذلك ليست وحيدة الحل.
- في القواعد التي تعرضها Nikoli، تملأ الخلايا بالأعداد1–9، ويحتوي كل صف وعمود ومربع3×3 على هذه الأعداد كلها. [1] نحافظ أيضًا على المعطيات الثابتة في تمريننا.
- لوحتنا تبقي الأعداد3–9 كمعطيات، وتفرغ مواقع1 و2. فيها63 خانة معطاة و18 فارغة. الإكمال أ والإكمال ب يحافظان على المعطيات ويجتازان جميع فحوص الوحدات.
- صنعنا ب من أ بتبادل1 و2 فقط. نجح التبادل لأن أيًا منهما ليس رقمًا معطى في اللوحة الأولى؛ لا يصلح تغيير أرقام معطاة في لوحة أخرى بالطريقة نفسها.
- يكفي اختلاف الإكمالين في خانة واحدة لإثبات أنهما ليسا الحل نفسه؛ وهما يختلفان في18 خانة هنا. نثبت وجود اثنين على الأقل، ولا نزعم حصر كل الإكمالات.
- إذا أضفنا معطى1 إلى الركن الأعلى الأيسر، يفشل ب الذي يضع2 هناك، ويبقى أ موافقًا لهذا المعطى. استبعاد ب وحده لا يثبت أن النسخة المعدلة أصبحت وحيدة الحل.
- مجموع45 وحده ليس فحصًا كافيًا: الصف2،2،3،4،5،6،7،8،8 مجموعه45، لكنه يكرر أعدادًا ويفقد1 و9.
- عند المراجعة افصل صحة إكمال معين عن البحث عن بديل، وسجّل المعطيات والقيود نفسها في المقارنتين. الفحص هنا لهذا النظام9×9، وليس تقريرًا عن كل أنواع الألغاز أو سرعة حلها.
ما الذي تفحصه في شبكة مكتملة؟
توضح Nikoli وضع عدد من1 إلى9 في كل خانة فارغة، واحتواء كل صف وعمود ومربع3×3 على الأعداد1–9 كلها. [1]
في شبكة9×9 يكون في كل واحدة من هذه الوحدات تسع خانات. إذا احتوت الأعداد التسعة المطلوبة، فلن يكون فيها تكرار على حساب عدد مفقود. نفحص الصفوف والأعمدة والمربعات، ثم نقارن الخانات المعطاة في تمريننا بما بقي فيها بعد الإكمال.
التحقق من صف واحد لا يشمل عمودًا يمر به أو مربعًا يحتويه. وكذلك مطابقة المعطيات وحدها لا تثبت أن بقية الخانات حققت القيود. اجعل نتيجة الفحص مرتبطة بالشرط الذي راجعته، ولا تختصر الشروط كلها في ملاحظة جزء من الشبكة.
لوحة تدريب ذات إكمالين مختلفين
أعددنا أولًا الإكمال أ في الرسم، ثم أفرغنا جميع مواقع1 و2 منه وأبقينا3 إلى9 ثابتة. هذه هي لوحة المعطيات:سبع خانات ثابتة في كل صف، أي63 في اللوحة كلها، وخانتان فارغتان في كل صف، أي18.
بعد ذلك بدلنا كل1 في أ إلى2 وكل2 إلى1، دون تغيير أي عدد آخر، فحصلنا على ب. الأعداد المعطاة من3 إلى9 بقيت كما هي. وفي كل صف وعمود ومربع بقيت الأعداد1–9 موجودة بعد التبادل، ولذلك يجتاز الإكمالان الشروط نفسها.
الخلايا المضافة1 و2 موضحة بلون مختلف في الإكمالين. أما الأرقام التي كانت معطاة فتبقى ثابتة، والخلايا الفارغة في لوحة المعطيات تبقى بلا أرقام؛ يساعد ذلك على متابعة ما أضفناه إلى الشبكة.
| الخانة في كل شبكة | المعطى الأصلي | الإكمال أ | الإكمال ب |
|---|---|---|---|
| الركن الأعلى الأيسر | فارغة | 1 | 2 |
| الخانة المجاورة له يمينًا | فارغة | 2 | 1 |
| الثالثة في الصف الأول من اليسار | 3 | 3 | 3 |
ماذا يثبت وجود البديل؟
يختلف أ وب في الركن الأعلى الأيسر مثلًا. وهما شبكة كاملة مختلفة، لا طريقتان لكتابة الإكمال نفسه. وحين يجتاز كل منهما القيود ويحافظ على المعطيات، يكون ادعاء الحل الوحيد قد فشل لهذه اللوحة.
لا يلزم حصر جميع البدائل لنفي الفرادة هنا؛ عرض بديل ثانٍ صحيح يكفي. لكننا لا نحول ذلك إلى قول إن عدد الإكمالات اثنان بالضبط. الرسم يعرض شاهدين، ولم نقدم تعدادًا كاملًا للكل.
ويبين المثال أيضًا حدود الانطباع من عدد المعطيات:وجود63 رقمًا ثابتًا لم يجعل هذه اللوحة بعينها وحيدة الحل. لا نستنتج من هذا الرقم مستوى صعوبة أو زمنًا يحتاج إليه لاعب، ولا نجعله وصفًا لكل لوحة ذات العدد نفسه.
استبعاد إكمال واحد ليس إثباتًا للفرادة
نغير المعطيات في تجربة فكرية بإضافة1 إلى الخانة العليا اليسرى. أ يوافقه لأنه يضع1 هناك، وب يخالفه لأنه يضع2. لقد استبعدنا ب من النسخة الجديدة للمعطيات.
لكن استبعاد ب لا يعني أننا فحصنا كل شبكة أخرى قد توافق المعطى المضاف. النتيجة المحددة هي هذا البديل المعروض لم يعد مقبولًا. لكي نقول لا يوجد بديل آخر، نحتاج إلى حجة تستبعد البدائل كلها أو بحث كامل تحت القيود المعلنة.
ولا نقارن نتيجة النسخة المعدلة باللوحة الأولى دون ذكر التغيير. جزء من معنى الحل هو المعطيات التي يطابقها؛ تغيير خانة ثابتة يغير المسألة التي نسأل عنها حتى إذا بقي رسم الشبكة العام كما هو.
لماذا لا يكفي مجموع45؟
الأعداد1 إلى9 إذا ظهرت مرة لكل منها تجمع45. لكن العكس لا يلزم. صفنا المضاد2،2،3،4،5،6،7،8،8 يجمع45 أيضًا، مع غياب1 و9 وتكرار2 و8.
لذلك لا نستعمل المجموع وحده بدل فحص وجود كل عدد مطلوب دون تكرار. يمكن أن يكون الحساب العددي صحيحًا، بينما يفشل الشرط الذي أردنا استخدام الحساب للتحقق منه.
للمراجعة، احتفظ بنسخة المعطيات، وافحص وحدات الإكمال كلها، ثم اسأل عن الفرادة بصورة مستقلة. العثور على إكمال صحيح نتيجة مفيدة، والعثور على إكمال ثانٍ يثبت عدم الفرادة. أما عدم العثور عليه في محاولة محدودة فلا يتحول وحده إلى إثبات أنه غير موجود.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.