الانتشار الحراري والتوصيل الحراري: لماذا ينعكس ترتيب عينتين؟

في البطاقتين المؤلفتين، توصيل أ يساوي 0.4 وتوصيل ب يساوي 0.6 واط لكل متر وكلفن؛ مع الكثافة والحرارة النوعية المعطاتين، انتشار أ يساوي 0.2 وانتشار ب نحو 0.133333 مم²/ث، فينعكس الترتيب.

• في العلاقة المختارة، نقسم التوصيل على حاصل ضرب الكثافة والسعة الحرارية النوعية. [2] تستعمل البطاقات قيمًا موجبة، ووحدات متسقة، ودرجة حرارة واحدة؛ لا يكفي اسم المادة لإكمال الخانات.
• في أ: الكثافة 1000 كغ/م³ والحرارة النوعية 2000 جول/(كغ·كلفن)، فيكون المقام مليوني جول/(م³·كلفن). قسمة 0.4 عليه تعطي 0.0000002 م²/ث.
• المتر المربع يساوي مليون ميليمتر مربع؛ لذلك نضرب الانتشار بالمتر المربع في مليون لنحصل على 0.2 مم²/ث. الضرب في ألف يخص تحويل الطول وحده.
• في ب: الكثافة 1500 والحرارة النوعية 3000 بالوحدات نفسها، فيكون المقام 4.5 ملايين. يعطي التوصيل 0.6 انتشارًا نحو 0.133333 مم²/ث. أما البديل ج، بمقام أ وتوصيل ب، فيعطي 0.3 مم²/ث.
• في الحساب العكسي، انتشار أ 0.2 مم²/ث يعيد التوصيل 0.4 عند استعمال مقام أ. النسبة بلا وحدات لا تعوض حقلًا مجهولًا، ولا نستنتج الكثافة والحرارة النوعية كلًا على حدة من حاصل ضربهما.
• عند تثبيت توصيل أ وكثافته، وافتراض حرارة نوعية مجهولة بين 1000 و2000، يقع الانتشار بين 0.2 و0.4 مم²/ث. إدخال منتصف الحرارة النوعية 1500 يعطي نحو 0.266667؛ ليس هذا متوسط طرفي الانتشار 0.3.
• هذه النتائج مقارنة خواص في بطاقات مؤلفة. لا تحدد درجة حرارة جسم بعد زمن، أو جودة منتج، أو نتيجة اختبار عملي. احتفظ بالأصل والوحدات والافتراضات عند نقل النتيجة إلى جدول المراجعة.

نرمز إلى التوصيل بالحرف k، وإلى الكثافة بالرمز ρ، وإلى السعة الحرارية النوعية بالرمز cp، وإلى الانتشار بالحرف a. العلاقة التي نستعملها هي k = ρ × cp × a. نعيد ترتيبها إلى a = k / (ρ × cp). المرجع يميز التوصيل والانتشار ويعرض العلاقة بين الخواص؛ لا نعتمد في هذا المقال قيمة مرجعية لمادة معينة. [1][2]

نضع حدودًا واضحة لبطاقاتنا قبل الحساب. كل الأعداد موجبة، والحرارة التي تخص الخانات واحدة في المقارنة، ولا نبدل اتجاهًا أو عينة أثناء نقل القيم. هذه شروط المعطيات المؤلفة هنا، وليست شهادة بأن تقريرًا خارجيًا استوفاها. إذا وصلت ثلاث قيم من أوراق مختلفة، فلن يصح افتراض تطابق سياقها لمجرد أن حاصل ضربها يمكن حسابه.

وحدات البطاقة أ هي واط/(متر·كلفن) للتوصيل، وكيلوغرام/متر مكعب للكثافة، وجول/(كيلوغرام·كلفن) للحرارة النوعية. نكتبها بجانب الأرقام بدل وضع قائمة وحدات بعيدة عن الجدول. يفيد ذلك في قراءة المقام: يتلاشى الكيلوغرام عند ضرب الكثافة في الحرارة النوعية، فنحصل على جول/(متر مكعب·كلفن)، ولا تبقى كتلة العينة نفسها عاملًا مستقلًا في هذه الخانات.

نحدد سؤال المراجعة أيضًا. نريد معرفة قيمة a في كل بطاقة، وأيهما أكبر ضمن الأرقام المعطاة، وما الذي يمنع المقارنة إذا نقصت البيانات. لا نريد حل معادلة لدرجة الحرارة أو حساب تكلفة تشغيل. إبقاء السؤال محددًا يساعد على اختيار النتيجة المناسبة؛ فالمقام الكامل كافٍ لهذه القسمة، لكنه لا يصف جسمًا بأبعاده وظروفه وحده.

قد يتكرر الرقم نفسه في عمودين، لكن أسماء الأعمدة تمنع معاملتهما كمقدار واحد. العدد 1000 في خانة كثافة ليس 1000 في خانة حرارة نوعية. كما أن الرمز المختصر a يحتاج إلى تعريفه في رأس الجدول؛ استعماله دون اسم يترك القارئ أمام رقم يمكن أن يظنه مساحة أو معاملًا آخر.

نؤلف البطاقة أ بالتوصيل 0.4 واط/(متر·كلفن)، والكثافة 1000 كيلوغرام/متر مكعب، والحرارة النوعية 2000 جول/(كيلوغرام·كلفن). حاصل ضرب آخر رقمين يساوي 2000000. نكتب المقام كاملًا قبل القسمة، فلا نخلط بين هذا العدد وبين 2000 الخاص بخانة واحدة.

القسمة المطلوبة هي 0.4 / 2000000 = 0.0000002. مع الوحدات المتسقة نحصل على 0.0000002 متر مربع لكل ثانية. يمكن كتابة العدد 2 × 10⁻⁷ لتقليل ازدحام الأصفار. الصورتان متساويتان؛ تغيير طريقة الكتابة لا يرفع خاصية البطاقة ولا يجعل القيمة تقريبًا مختلفًا.

نراجع النتيجة بإرجاع الضرب: 2000000 × 0.0000002 = 0.4. هذا يعيد التوصيل الذي بدأنا منه. لو خرج من القسمة 0.0002، لأعطى الضرب 400، وهو أكبر بألف مرة من المدخل. المراجعة العكسية هنا تكشف الخطأ الحسابي، لكنها لا تثبت أن الأرقام أخذت من تجربة؛ أصل الأرقام مؤلف ومعلن.

ويمكن فصل العملية إلى جزأين: قسمة 0.4 على 2 تعطي 0.2، ثم القسمة على مليون تعطي 0.0000002. هذه طريقة للتدقيق في موضع الفاصلة عندما يكون المقام مليوني وحدة، ولا نعتمدها كقاعدة لأي مقام. إذا كان المقام 2.5 ملايين بدل مليوني وحدة، يتغير الجزء الأول إلى 0.16 قبل عامل المليون.

لا نضع بجانب النتيجة عبارة «أفضل» دون سؤال مقارنة. لقد حسبنا a فقط من بطاقة أ، ولم نحدد معيار استعمال. حتى ترتيب رقمين في العمود نفسه يأتي بعد التأكد من الوحدات والمعطيات. الرقم المفرد لا يحتوي اسم الوظيفة الصناعية أو حد قبول أو وصف منتج، فلا نضيف هذه المعاني إليه أثناء تحرير النتيجة.

في بطاقة أ وصلنا إلى 0.0000002 م²/ث. نريد عرض الانتشار بوحدة مم²/ث دون تغيير المقدار. المتر يساوي 1000 ميليمتر؛ وتربيع طرفي المساواة يعطي المتر المربع مساويًا 1000000 ميليمتر مربع. لذلك نضرب العدد الأول في مليون: 0.0000002 × 1000000 = 0.2 مم²/ث.

إذا ضربنا في ألف فقط خرج 0.0002 مم²/ث، وهي نتيجة أصغر بألف مرة من المطلوبة. سبب الخطأ استعمال عامل الطول في مقدار مربع. لا يلزم حفظ سلسلة أصفار إذا كتبنا التحويل بوصفه عاملًا: مليون مم² لكل م²، فتختصر المتر المربع من الوحدة الأصلية وتبقى مم² في البسط.

وفي الاتجاه العكسي نقسم 0.2 على مليون لنعود إلى 0.0000002 م²/ث. لا نضرب مرة أخرى لأننا نرجع إلى وحدة مساحة أكبر. يستطيع القارئ اختبار الاتجاه بمقدار أبسط: متر مربع واحد يحتوي مليون ميليمتر مربع، ولذلك العدد بالوحدة الأصغر أكبر، مع بقاء المقدار نفسه.

نؤلف قيمة أخرى للمراجعة، هي 0.5 مم²/ث. تساوي 0.0000005 م²/ث؛ ونسبتها إلى قيمة أ، بأي من الوحدتين، تساوي 2.5. عامل التحويل المشترك يتلاشى في النسبة. لكن مقارنة 0.5 بالعدد 0.0000002 مباشرة، قبل توحيد الوحدات، تعطي رقمًا بلا معنى للمقارنة المقصودة بين الانتشارين.

احتفظ بالثانية في كل سطر من هذه العملية. نحن نحول مساحة في وحدة الانتشار، ولم نحول وحدة الزمن. إذا تغير الزمن أيضًا إلى دقيقة، احتجنا عاملًا آخر مستقلًا مع تحديد اتجاه التحويل. في الجدول الحالي نثبت الثواني حتى لا تصبح خطوة توحيد الوحدة مزيجًا غير موضح من تحويلين.

نؤلف البطاقة ب بالتوصيل 0.6 واط/(متر·كلفن)، والكثافة 1500 كيلوغرام/متر مكعب، والحرارة النوعية 3000 جول/(كيلوغرام·كلفن). حاصل ضرب الكثافة في الحرارة النوعية يساوي 4500000. القسمة 0.6 / 4500000 تعطي نحو 0.000000133333 م²/ث، أي نحو 0.133333 مم²/ث. نستخدم علامة التقريب لأن الكتابة العشرية هنا لا تنتهي.

توصيل ب أعلى من أ بنسبة 50%: 0.6 / 0.4 = 1.5. لكن مقام ب أعلى من مقام أ بنسبة 125%، إذ 4500000 / 2000000 = 2.25. نسبة انتشار ب إلى انتشار أ هي 1.5 / 2.25 = 2/3. لذلك انتشار ب أقل بنحو الثلث من انتشار أ، رغم ارتفاع التوصيل في المدخل.

نؤلف البديل ج كي نفصل دور المقام. نعطيه توصيل ب، أي 0.6، مع كثافة أ وحرارته النوعية، فيعود مقامه إلى مليوني وحدة. ينتج 0.3 مم²/ث. الآن تغير التوصيل وحده مقارنة بأ، فصارت نسبة الانتشار 1.5 أيضًا. ج بطاقة مستقلة نعرف خاناتها، وليس تعديلًا جرى على عينة ب أو تجربة تثبت تغير خاصية مادة.

يمنع هذا البديل تفسير الانعكاس بطريقة مختصرة خاطئة، مثل القول إن ارتفاع التوصيل يخفض الانتشار دائمًا. لم يخفضه في ج مقارنة بأ. كما لا نقول إن التوصيل لا يفيد في الحساب؛ إنه البسط نفسه. تتحدد النتيجة من البسط والمقام معًا في المعطيات المختارة، لا من إلغاء أحدهما.

وعند نسخ المقارنة، اكتب أسماء البطاقات بجانب قيمها. النتيجة «أ أعلى من ب» تخص عمود الانتشار، بينما النتيجة «ب أعلى من أ» تخص عمود التوصيل. حذف اسم العمود يجعل جملتين صحيحتين تبدوان متناقضتين. الجدول الصغير يبين اختلاف السؤال قبل اختلاف الأرقام.

إذا أعطتنا البطاقة أ انتشارًا 0.2 مم²/ث ومقامًا مليوني جول/(م³·كلفن)، نعيد تحويل الانتشار إلى 0.0000002 م²/ث. ضربه في المقام يعطي 0.4 واط/(متر·كلفن). هذه إعادة ترتيب للعلاقة نفسها بالبيانات نفسها، وليست مصدرًا إضافيًا لقيمة التوصيل.

أما إذا عرفنا التوصيل 0.4 والانتشار 0.0000002 فقط، فنحسب حاصل ضرب الكثافة في الحرارة النوعية: 0.4 / 0.0000002 = 2000000. نستطيع استعادة المقام، لكن لا نستعيد عامليه كلًا على حدة. الزوج 1000 و2000 يعطيه، وكذلك الزوج 2000 و1000، بوحدات الخانات المناسبة التي حددناها.

نؤلف زوجًا ثالثًا للتوضيح: كثافة 800 وحرارة نوعية 2500 تعطي حاصل الضرب نفسه. يوجد أكثر من حل عددي لهذا الطلب إذا لم نضف معلومة مستقلة عن إحدى الخانتين. إدخال رقم كثافة شائع من الذاكرة يغير المسألة؛ يصبح افتراضًا جديدًا يحتاج إلى إعلان، ولا يعالج نقص البطاقة الأصلية وحده.

وإذا عرفت الكثافة 1000 مع حاصل الضرب مليوني وحدة، تستطيع القسمة للحصول على الحرارة النوعية 2000. هنا استكملت معلومة مستقلة، فأصبح الفصل ممكنًا ضمن البطاقة. يتشابه شكل العمليتين، لكن السؤال الأول كان تحديد حاصل ضرب، والثاني تحديد عامل بعد معرفة الآخر. لا تكتب أن جميع الخانات معلومة في الحالة الأولى.

للمراجعة العملية للجدول المؤلف، ضع علامة عند الخانات المدخلة وأخرى عند الخانة المحسوبة. فهذا يمنع إعادة استعمال قيمة حسبتها من العلاقة نفسها بوصفها تحققًا مستقلًا من صحتها التجريبية. الاختبار العكسي مفيد لاكتشاف أخطاء الضرب والفاصلة والوحدة؛ أما إثبات صحة قياس خارجي فيحتاج إلى بياناته، وهو خارج ما نملك في هذا المثال.

نثبت التوصيل 0.4 والكثافة 1000 من البطاقة أ، لكن نستبدل الحرارة النوعية المعلومة بمجال مؤلف مغلق من 1000 إلى 2000 جول/(كيلوغرام·كلفن). نسمح بكل قيمة موجبة داخل المجال، ولا نزعم أن قيمته الوسطى أكثر احتمالًا. يصبح المقام بين مليون ومليوني وحدة.

عند الحد الأصغر للحرارة النوعية نحصل على 0.4 / 1000000 = 0.0000004 م²/ث، أي 0.4 مم²/ث. وعند الحد الأكبر نحصل على 0.2 مم²/ث. إذن مجال الانتشار من 0.2 إلى 0.4 مم²/ث، مع عكس ارتباط الطرفين: المقام الأكبر يعطي الخارج الأصغر عندما يبقى البسط الموجب ثابتًا.

نختبر منتصف مجال الحرارة النوعية، وهو 1500. المقام 1500000، والانتشار نحو 0.000000266667 م²/ث، أي نحو 0.266667 مم²/ث. متوسط طرفي مجال الانتشار يساوي 0.3. العددان مختلفان لأن قسمة بسط ثابت على مقام متغير ليست عملية خطية في المقام؛ لا يمر متوسط المدخل إلى متوسط المخرج بهذه الطريقة.

وإذا أردنا معرفة قيمة الحرارة النوعية التي تعطي 0.3 مم²/ث، نحول هذه القيمة إلى 0.0000003 م²/ث. عندئذ cp = 0.4 / (1000 × 0.0000003)، أي نحو 1333.333333 بالوحدة المحددة. يقع الرقم في المجال، لكنه ليس منتصفه 1500. هذا حساب عكسي آخر يفسر الفرق دون اختراع توزيع احتمالي.

لا نختار 0.3 ونقدمه كقياس مكتمل إذا لم تزودنا البطاقة بقاعدة لاختيار قيمة من المجال. يمكن عرض المجال نفسه مع افتراضاته، أو عرض بديل محدد بوصفه بديلًا. كما أن المجال هنا يغير خانة واحدة فقط؛ إذا صارت الكثافة والتوصيل مجهولين أيضًا، فلا ننقل الحدود المحسوبة للحالة الأولى إلى المسألة الأوسع دون حساب جديد.

تلخص بطاقة المراجعة أ أربعة أشياء: توصيل 0.4، ومقام مليوني وحدة من خانات معلومة، وانتشار 0.2 مم²/ث، وكون القيم مؤلفة وعند شرط حراري مشترك في المقارنة. إذا نقلنا الخانة الأخيرة وحدها فقدنا طريقة الحصول عليها وحدود استخدامها. لذلك نحتفظ برأس العمود والوحدة ومعرف البطاقة بجانب القيمة في النسخة المختصرة.

يمكن تقريب قيمة ب إلى 0.1333 مم²/ث لغرض العرض، مع الاحتفاظ بالكسر 2/15 في حساب المقارنة عندما نحتاجه. نسبة ب إلى أ تساوي 2/3 قبل تقريب العرض؛ لا نبني نتيجة جديدة على فرق الأرقام المقطوعة في الجدول. التقريب لا يغير إعلان أن ب أقل من أ في هذه البطاقات.

ولا نكتب من هذه النتيجة أن جسم أ سيصل إلى درجة حرارة محددة قبل جسم ب في عدد معين من الثواني. لم نقدم أبعاد جسمين أو شروط حدود أو توزيع حرارة ابتدائي، ولم نحل مسألة زمنية. حساب الخاصية من خاناتها يجيب عن سؤال محدد؛ إضافة زمن تبريد أو توصية شراء تضيف سؤالًا آخر لا تثبته هذه القسمة.

في النهاية تستطيع مراجعة الجدول بثلاث عمليات واضحة: توحيد الوحدات، وحساب المقام، ثم إعادة الضرب للتحقق الحسابي. في المقارنة تفحص نسبة البسط ونسبة المقام معًا. وعند نقص البيانات تحتفظ بالمجال بدل صناعة رقم مركزي يوحي بأنه مرصود. هذه خطوات حسابية لبطاقاتنا المعلنة، ويمكن تنفيذها دون الادعاء بأننا صنعنا عينة أو اختبرنا منتجًا.