الطول المرجعي في تقرير التمدد: كيف تجمع فترتين؟

في السجل المؤلف، زيادة 1% من 100 مم تعطي 101 مم، ثم زيادة 2% من 101 مم تعطي 103.02 مم؛ الزيادة الكلية 3.02% من الأصل، لأن مرجع الفترة الثانية تغير.

• معامل التمدد الخطي هو تغير الطول مقسومًا على حاصل ضرب الطول الأصلي في تغير الحرارة. [1] لكن نسب بطاقاتنا معطاة مباشرة كتغير طول محدود؛ لا نعاملها معاملات لكل درجة أو نستنتج مادة من قيمتها.
• زيادة الفترة الأولى 1 مم، وزيادة الثانية 2.02 مم. حاصل الضرب 1.01 × 1.02 يساوي 1.0302، فتكون الزيادة الكلية 3.02 مم من أصل 100 مم.
• إذا نصت بطاقتان بديلتان على مرجع ثابت 100 مم لكلتا الزيادتين، تصبح الزيادتان 1 و2 مم، والطول النهائي 103 مم. هذه معطيات مختلفة، وليست تقريبًا أو تصحيحًا للسجل الأول.
• العودة من 101 إلى 100 مم تغير نسبته −1/101، أي نحو −0.990099% من بداية العودة. إنقاص 1% من 101 يعطي 99.99 مم، فلا يعيد البداية تمامًا.
• مضاعفة جميع الأطوال مع حفظ نسب الفترتين تجعل النهاية 206.04 مم من أصل 200 مم؛ النسبة الكلية تبقى 3.02% والزيادة المطلقة تتضاعف. الطول النهائي وحده لا يحدد النسبتين منفردتين.
• عند تثبيت زيادة الأولى 1% وافتراض زيادة الثانية بين 1% و3% من 101 مم، تكون النهاية بين 102.01 و104.03 مم. المنتصف 103.02 هنا حساب بديل تحت فرض خطي واحد، لا قراءة مرصودة أو أكثر احتمالًا.
• احتفظ بطول بداية كل فترة ونهايتها ومقام النسبة. لا تعمم هذه البطاقات على معامل مادة أو زمن أو إجهاد؛ السجل يثبت العمليات الحسابية المعلنة فقط.

في تعريف المعامل الخطي المختار تظهر ثلاثة حقول: تغير الطول، والطول الأصلي، وتغير درجة الحرارة. الصيغة α = ΔL / (L₀ × ΔT) تبين موضع الطول الأصلي في المقام. [1] هذا هو نطاق الحقيقة المرجعية التي نحتاجها هنا؛ لا نختار قيمة α لحديد أو بوليمر، ولا نعيد حساب أبعاد قطعة حقيقية من جدول مادة.

أما بطاقاتنا فتعطي نسب تغير الطول مباشرة. نكتب r = زيادة الطول / طول بداية الفترة، بحيث تكون r = 0.01 في الأولى و0.02 في الثانية. هاتان نسبتان بلا وحدة، وليستا معاملين لكل كلفن. لم تقدم البطاقة درجة بداية ونهاية حرارية، لذلك لا نحول هذه الأرقام إلى α أو نملأ خانة الحرارة من الذاكرة.

نضع في رأس كل بطاقة عبارة «من طول بداية هذه الفترة». في الأولى تعني 100 مم، وفي الثانية تعني 101 مم بعد اكتمال الأولى. بقاء العبارة نفسها لا يعني بقاء العدد نفسه؛ تحدد هوية الفترة مقدار المرجع. ولهذا نكتب العدد بجانب العبارة بدل الاعتماد على تسمية مختصرة مثل «الطول الأصلي» في صفوف متعددة.

يمكن كتابة طول النهاية على الصورة Lالنهاية = Lالبداية × (1 + r). العامل 1 يمثل طول البداية كله، وr يمثل الزيادة نسبة إليه. عندما تكون r موجبة نضيف زيادة، وعندما تكون سالبة ضمن الحدود المعلنة ننقص مقدارًا. هذه إعادة صياغة حسابية لبطاقات طول محددة، ولا تتنبأ بما ستفعله مادة عند تسخينها.

إذا وصلنا رقم «2%» دون المقام، نعرف النسبة المكتوبة فقط. لا نعرف هل يخص أصل السجل أو بداية المرحلة الثانية أو مقدارًا آخر. تختلف الزيادة المطلقة باختلاف المقام، لذلك يسبق استكمال الحقل قرار الجمع. ولا يكفي أن تكون الوحدات مم في جميع الصفوف؛ يمكن توحيد الوحدة مع إبقاء مرجع النسبة مختلفًا.

طول بداية الفترة الأولى 100 مم، ونسبة الزيادة 1%. نحسب 100 × 0.01 = 1 مم، ثم النهاية 100 + 1 = 101 مم. تسجل البطاقة الثانية هذا العدد نفسه باعتباره طول بدايتها. لا نعود إلى 100 عند ضرب نسبة الثانية ما دامت صياغتها تنص على بداية الفترة الجديدة.

في الثانية نحسب 101 × 0.02 = 2.02 مم، ثم نجمعها إلى بدايتها: 101 + 2.02 = 103.02 مم. مجموع الزيادتين المطلقتين 1 + 2.02 = 3.02 مم. هذه الطريقة تحفظ معنى كل نسبة، ثم تجمع مقادير طول متجانسة، بدل جمع نسب لها مقامان مختلفان من غير تحويل.

يمكن الوصول إلى النهاية بالضرب: 100 × 1.01 × 1.02 = 103.02 مم. ونسبة النهاية إلى أصل السجل هي 1.0302. عند طرح الواحد يبقى 0.0302، أي 3.02%. لا نخلط بين نسبة النهاية 103.02% ونسبة الزيادة 3.02%؛ الأولى تشمل المئة التي كانت موجودة عند البداية.

جمع 1% و2% يعطي 3%، وهو أقل من النتيجة الصحيحة بمقدار 0.02 نقطة مئوية. يظهر الجزء المفقود في التوسع الجبري: 0.01 + 0.02 + 0.01 × 0.02 = 0.0302. الحد الأخير يحسب أن زيادة الفترة الأولى أصبحت جزءًا من مرجع الثانية. لا نسمي 0.02 نقطة مئوية «زيادة 0.02% في كل مرحلة»؛ إنها فرق بين ناتجتين كليتين محددتين.

نراجع النهاية بطرح البداية: 103.02 − 100 = 3.02 مم. ثم نقسم الفرق على 100 لنعود إلى 3.02%. إذا قسمت الفرق نفسه على 101 حصلت على نسبة أخرى، لأنك اخترت بداية الفترة الثانية مرجعًا لزيادة تشمل الفترة الأولى أيضًا. الحساب الأخير ممكن عدديًا لكنه لا يجيب عن سؤال الزيادة من أصل السجل.

نؤلف سجلًا بديلًا يبدأ أيضًا بطول 100 مم، لكنه ينص على أن نسبتي الزيادة محسوبتان من أصل السجل نفسه، لا من بداية كل فترة. تكون الزيادة الأولى 1% من 100، أي 1 مم، والثانية 2% من 100، أي 2 مم. مجموعهما 3 مم، والنهاية 103 مم.

بعد الزيادة الأولى يظل الطول الموجود 101 مم، لكن مرجع النسبة الثانية يبقى 100 مم بقرار صريح في البطاقة البديلة. هذه هي النقطة التي تغير الحساب. لا نضرب طول 101 في 1.02، لأننا بذلك نستبدل صياغة المرجع الثابت بصياغة المرجع المتغير التي استعملناها في السجل الأول.

إذا أردت وصف الزيادة الثانية البديلة نسبة إلى طول بدايتها الموجود 101، تقسم 2 مم على 101 مم. تحصل على نحو 1.980198%، لا 2%. يمكن إذن عرض الزيادة نفسها بطريقتين مع توضيح المقام: 2% من أصل 100، أو نحو 1.980198% من بداية الثانية 101. لا تتغير الزيادة المطلقة حين نعيد وصفها بوحدة نسبة مختلفة.

في السجل المتغير كانت الزيادة الثانية 2.02 مم. نسبتها إلى أصل 100 تساوي 2.02%، ويمكن جمعها مع 1% من الأصل لنصل إلى 3.02%. هذا هو التحويل الذي يجعل الجمع مشروعًا: ننقل الزيادتين إلى مقام واحد، بدل حذف اختلاف المقامين من رؤوس الخانات.

فارق النهايتين 103.02 − 103 = 0.02 مم يخص هذين البديلين وحدهما. لا نقدمه كتصحيح عام لكل تقرير، ولا نقول إن أحد التقريرين أدق لمجرد زيادة منزلتين عشريتين. كلاهما يعطي نتيجة صحيحة عند استعمال معطياته المعلنة؛ الخطأ يحدث عند نقل قاعدة المرجع من أحدهما إلى الآخر دون تصريح.

نعود إلى سجل الفترة الأولى: طول 100 أصبح 101 مم. نؤلف بطاقة عودة تريد الوصول من 101 إلى 100 تحديدًا. تغير الطول المطلوب −1 مم، وطول بداية العودة 101 مم. لذلك نسبة التغير هي −1/101، أي نحو −0.009900990099 بصيغة الكسر العشري، أو نحو −0.990099%.

إذا كتبنا بدلًا منها −1% من 101، فإن النقص يساوي 1.01 مم، والنهاية 99.99 مم. خفض 1% لا يلغي زيادة 1% السابقة في هذه الصياغة؛ المقام تغير بين الذهاب والعودة. ويمكن التحقق بضرب العاملين 1.01 × 0.99 = 0.9999، ثم ضربهما في 100 لنحصل على 99.99.

عامل العودة الصحيح هو 100/101، وهو مقلوب عامل الذهاب 101/100. ضرب العامل في مقلوبه يساوي واحدًا، فتعود النهاية إلى الأصل. لا يلزم تقريب نسبة العودة قبل الحساب إذا احتفظت بالكسر الدقيق. التقريب إلى ست منازل في النسبة يخدم العرض، بينما الكسر يحافظ على المساواة في المراجعة.

ونؤلف عودة من نهاية الفترتين 103.02 إلى أصل 100. الفرق −3.02 مم، لكنه ينسب الآن إلى 103.02. نحسب −3.02/103.02، أي نحو −2.9314696%. كتابة −3.02% من 103.02 لا تعيد 100، لأنها تستعمل نسبة الزيادة الكلية من الأصل وكأن مرجعها هو نهاية السجل.

هذه عودة حسابية لطولين معينين، ولا تثبت أن تبريد عينة يعكس مسار تسخينها أو أن الجسم لا يحتفظ بتغير آخر. لم نعط خاصية مادة أو بيانات مسار عملي. فصل الطلب الحسابي عن الاستنتاج المادي يحفظ فائدة المثال: يمكنك تدقيق النسبة المطلوبة للعودة دون أن تنسب إلى مادة سلوكًا لم يقدمه السجل.

نؤلف نسخة متناسبة من السجل تبدأ بطول 200 مم وتحفظ نسبتي الفترتين 1% ثم 2% من بداية كل فترة. الأولى تزيد 2 مم فتصل إلى 202. والثانية تزيد 4.04 مم فتصل إلى 206.04. الزيادة الكلية 6.04 مم، ونسبتها إلى الأصل 6.04/200 = 3.02%.

تضاعف الطول الأصلي والنهاية والزيادتان، لكن النسب بقيت كما هي. لذلك تتساوى النسبة الكلية بين النسختين بينما يختلف الفرق المطلق. إذا كان سؤال الجدول «كم مم تغير الطول؟»، فإن 3.02% وحدها لا تكفي للإجابة ما لم نعرف أصل السجل. النسبة لا تحمل حجم المرجع ضمن أرقامها.

كما أن معرفة الأصل 100 والنهاية 103.02 لا تحدد نسبتي الفترتين منفردتين. نؤلف بديلًا كانت نسبته الأولى صفرًا والثانية 3.02%، فيحقق النهاية نفسها. يمكن أيضًا اختيار الأولى 3.02% والثانية صفرًا. هذه بدائل عددية كافية لإثبات نقص تحديد المراحل، ولا نسميها أوصافًا لمسار واحد وقع بالفعل.

إذا عرفنا نسبة الأولى 1% مع الأصل والنهاية، نستطيع استرجاع الثانية: 103.02/101 − 1 = 0.02، أي 2%. أضفنا معلومة مستقلة عن مرحلة واحدة، فأصبح تحديد الأخرى ممكنًا في نموذجنا. لا نخلط بين هذا الوضع ووضع النهاية وحدها الذي كان يسمح ببدائل كثيرة.

وتبديل ترتيب عاملين معلومين 1.01 و1.02 يعطي النهاية العددية نفسها، لأن الضرب يتبادل في هذه العملية. لكن الزيادتين المطلقين وتفاصيل البدايات تختلفان: زيادة 2 مم ثم 1.02 مم بدل 1 ثم 2.02. التساوي الحسابي للنهاية لا يمنحنا حق تبديل فترات تقرير حراري حقيقي؛ نحن نقارن عاملين مفترضين ومعلومين، لا نفترض تطابق سلوك المادة بعد تبديل الشروط.

نثبت الفترة الأولى من السجل الأصلي، فيكون طول بداية الثانية 101 مم. نؤلف معلومة ناقصة تقول إن زيادة الثانية بين 1% و3% من هذا الطول، شاملة الحدين. لا نعطي ترتيبًا احتماليًا لقيم المجال، ولا نزعم أن 2% قياس متاح. نريد النهايات الممكنة ضمن هذا الفرض المحدود.

عند الحد الأدنى تكون زيادة الثانية 101 × 0.01 = 1.01 مم، والنهاية 102.01 مم. عند الحد الأعلى تكون الزيادة 3.03 مم، والنهاية 104.03 مم. نسبة الزيادة الكلية من أصل 100 تقع بين 2.01% و4.03%. لا تساوي المجال من 2% إلى 4% الناتج عن جمع نسب ذات مراجع مختلفة.

إدخال منتصف نسبة الثانية، أي 2%، يعطينا النهاية 103.02 مم. متوسط طرفي مجال النهاية يساوي أيضًا (102.01 + 104.03)/2 = 103.02. يتطابق العددان هنا لأن البداية 101 ثابتة والنهاية خطية في نسبة الثانية وحدها. لا نعمم هذا التطابق على عمليات أخرى مثل نسبة العودة أو حالة مقامين مجهولين.

نؤلف حدًا للمراجعة العددية عند طول نهائي 103.5 مم. كي تتجاوز النهاية هذا العدد يجب أن تحقق نسبة الثانية r الشرط 101 × (1 + r) > 103.5. ينتج r > 2.5/101، أي أكثر من نحو 2.4752475%. وعند المساواة بالضبط تكون النهاية 103.5، فلا تحقق شرط التجاوز الصارم.

يقع هذا الحد داخل المجال المعطى من 1% إلى 3%. لذلك تسمح البطاقة الناقصة بنهايات تتجاوز 103.5 وأخرى لا تتجاوزه، ولا تكفي لاتخاذ جواب واحد. العدد 103.5 مجرد حد مؤلف لهذه المسألة؛ ليس مواصفة قبول لمنتج أو درجة سلامة. نعرض عدم الحسم بدل استعمال المنتصف جوابًا نهائيًا دون معلومة إضافية.

يتكون سجلنا الكامل من بداية كل فترة ونهايتها ونسبتها مع مقامها، ثم زيادة كلية من أصل السجل. عند اختصار الجدول، أبق عبارة «من بداية الفترة» أو «من الأصل 100» مع النسبة. يمكن حذف شرح الضرب الطويل بعد المراجعة، لكن حذف المقام يزيل جزءًا من المعنى الذي حدد النتيجة.

ومن المفيد عرض الزيادة المطلقة بجانب النسبة عندما تتغير المراجع. في السجل الأول توضح 1 مم و2.02 مم كيف اجتمع الفرق الكلي 3.02. وفي البديل الثابت توضح 1 و2 لماذا ظهرت النهاية 103. يستطيع القارئ رؤية اختلاف البيانات دون أن يحتاج إلى اكتشاف المرجع من شكل الناتج وحده.

نراجع ثلاث مساويات في النسخة الأولى: نهاية الأولى تساوي بداية الثانية، ومجموع الزيادتين يساوي الفرق بين آخر نهاية وأول بداية، وحاصل ضرب عاملي الفترتين يساوي نسبة النهاية إلى الأصل. هذه المراجعات تكشف نقل رقم من بطاقة أخرى أو استخدام بداية غير صحيحة. لكنها تعتمد جميعًا على نفس المدخلات المؤلفة، فلا تصبح تحققًا مستقلًا من قياس خارجي.

أما سجل مجهول تغير الحرارة أو المادة فلا نكمله باستنتاجات من النسب الحسابية. ما أثبتناه هو أن المقام المتغير يغير طريقة جمع زيادات محددة، وأن نسبة العودة تحتاج إلى مرجع العودة. يمكن إبقاء هذه النتيجة واضحة ودقيقة دون تحميل السجل معامل مادة أو منحنى حرارة أو إجهادًا لم يذكره.