ضرب أوزان المتوسط الموزون في ثابت موجب لا يغير المتوسط إذا بقيت القيم نفسها وكان مجموع الأوزان الأصلي موجبا. يتضاعف البسط والمقام معا، فتثبت النسبة. أما جمع القيم المضروبة بالأوزان دون القسمة فهو مجموع موزون يتغير، وهو حساب آخر.
الخلاصة السريعة
لا يتغير المتوسط عند ضرب جميع أوزانه في الثابت الموجب نفسه؛ يتغير المجموع الموزون وحده بما يناسب هذا الثابت.
- يحسب المتوسط الموزون من مجموع حاصل ضرب كل قيمة في وزنها مقسوما على مجموع الأوزان، ويجب ألا يكون المقام صفرًا. [1] نستخدم أوزانا غير سالبة ومجموعا موجبا.
- للقيمتين 2 و 10 مع وزنين 3 و 1 ، البسط 16 والمقام 4 ، فيكون المتوسط 4.
- عند ضرب الوزنين في 5 يصبحان 15 و 5 ، والبسط 80 والمقام 20 ؛ يبقى المتوسط 4 ، ويتغير المجموع الموزون من 16 إلى 80. تغيير وزن واحد فقط قد يغير المتوسط.
- الوزن صفر لا يضيف مساهمة للقيمة في الحساب، لكن جعل مجموع الأوزان صفرًا يلغي هذه القسمة. الأوزان السالبة قد تعطي نتيجة خارج مجال القيم؛ أوزان المثال للملاحظات وليست معلمات شبكة تعلمناها.
ما الفرق بين الوزن والقيمة والمقام؟
تعرض وثائق NumPy حساب المتوسط الموزون بقسمة مجموع القيم المضروبة بالأوزان على مجموع الأوزان، مع شرط أن هذا المجموع غير صفر. [1]
لدينا في مثال مؤلف ملاحظتان رقميتان قيمتهما 2 و 10 بالوحدة نفسها. نعطي الأولى وزن 3 والثانية وزن 1. لم نتعلم هذين الوزنين من نموذج، ولم نشتقهما من احتمالات معاينة؛ اخترناهما لإيضاح خاصية حسابية.
البسط 2×3+10×1=16 ، والمقام 3+1=4. إذن المتوسط 4 ، ويحمل وحدة القيم. لا تعني النتيجة أن لدينا أربع ملاحظات أصلية مختلفة؛ عدد الملاحظات في ملفنا اثنتان، والأوزان تعريف للمساهمة.
لماذا يختفي الثابت المشترك من النسبة؟
نضرب كل وزن في 5 مع الحفاظ على القيم وترتيب ارتباطها بالأوزان. يزيد البسط إلى 2×15+10×5=80 ، ويزيد المقام إلى 15+5=20. قسمتهما تعطينا 4 كما في البداية.
كل حد في البسط وكل وزن في المقام ضرب في العدد نفسه. لذلك يمكن إلغاء العامل المشترك من القسمة. لا نحتاج أن يكون مجموع الأوزان واحدا أو مئة، ما دمنا نقسم على مجموعها الفعلي غير الصفري.
إذا ضربنا الوزن الأول وحده في 5 وأبقينا الثاني 1 ، أصبح المتوسط(2×15+10×1)÷16=2.5. لم يعد هذا مجرد تغيير مقياس الأوزان كلها؛ تغيرت نسب المساهمات بين الملاحظتين.
| الأوزان | البسط الموزون | مجموع الأوزان | المتوسط |
|---|---|---|---|
| 3 و 1 | 16 | 4 | 4 |
| 15 و 5 | 80 | 20 | 4 |
متى تكون زيادة المجموع مهمة؟
المجموع الموزون الأول 16 والثاني 80 ، وهما مختلفان. لا تكتب أن «النتيجة لم تتغير» دون تسمية النتيجة: الذي ثبت هو المتوسط بعد القسمة، وليس البسط أو مجموع الأوزان.
قد يطلب حساب معين مجموعا موزونا لمعنى آخر. إذا كانت الأوزان تمثل أعداد وحدات في تعريف ذلك الحساب، فإن تغييرها يغير تلك الكمية أيضا. خاصية إلغاء الثابت في المتوسط ليست إذنا بتحويل أوزان تصميم معاينة أو تقدير مجموع مجتمع دون تفسير.
عند قراءة تقرير بيانات نموذج، اطلب القيم والأوزان والمقام واسم المقياس. أرقام مثل 80 لا تصبح متوسطا لأنها جاءت من عملية ترجيح؛ القسمة والكمية المستهدفة جزء من المعنى.
ما الشروط التي تمنع جوابا مضللا؟
مع أوزان غير سالبة ومجموع موجب، يقع المتوسط بين أصغر القيم المشاركة وأكبرها. إذا أعطينا الأولى وزن صفر والثانية 1 ، تصبح النتيجة 10 ؛ القيمة الأولى لا تسهم في هذا الحساب، لكنها لم تختف من الملف.
لو صار الوزنان صفرًا، صار البسط والمقام صفرًا، ولا ينتج متوسط من 0/0. لذلك استثنينا ضرب الجميع في صفر. كما أن المثال يثبت نتيجة أوزان الملاحظات، ولا يصف أثر ضرب معلمات شبكة عصبية في عدد.
تسمح صيغة NumPy بأوزان مجموعها غير صفر دون اشتراط إيجابيتها كلها. [1] لكن المعنى يحتاج حذرا: مع القيم 2 و 10 ووزنين 2 و−1 يصبح المتوسط−6 ، خارج المجال 2 إلى 10. لا ننقل تفسير المتوسط ذي المساهمات غير السالبة إلى هذا المثال.
المصادر ومتابعة القراءة
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.