أقل مساحة أسطوانة بحجم ثابت: نقارن نزع الغطاء بتغيير الأبعاد في مثال مؤلف. [1][2]
الخلاصة السريعة
لا؛ أبعاد الحد الأدنى تتغير من h=2r للمغلقة إلى h=r للمفتوحة. [1][2]
- أسطوانة دائرية قائمة بسماكة مهملة، وحجم ثابت V>0، ونصف قطر r>0 وارتفاع h>0؛ بقاعدة أو قاعدتين. [1]
- V=πr²h؛ المغلقة S=2πr²+2πrh، والمفتوحة S=πr²+2πrh. للحجم الثابت h=V/(πr²)؛ تغيير r يغير h. [1]
- لعدد القواعد k=1 أو2، يتحقق الحد الأدنى عند r₀=∛(V/(kπ)) وh=kr₀؛ للمغلقة h=2r، وللمفتوحة h=r. [1][2]
- للحجم المختار V=128πcm³، أبعاد المغلقة المثلى r=4cm وh=8cm، ومساحتها 96πcm². حذف الغطاء وحده يبقي الأبعاد والحجم، ويخفض المساحة إلى80πcm². [1][2]
- للمفتوحة بالحجم نفسه، r=h=4∛2cm≈5.040cm، والمساحة الدنيا 48π×2^(2/3)cm²≈239.374cm²؛ وهي أقل من80πcm²≈251.327cm². إعادة اختيار الأبعاد تحسن نتيجة نزع الغطاء وحده. [1][2]
- نقلل مساحة السطوح الهندسية، لا تكلفة تصنيع فعلية. النتيجة تفترض حرية الأبعاد؛ اختلاف أسعار القواعد والجوانب أو وجود حدود للأبعاد يحتاج مسألة أخرى. [2]
حدد الشكل والسطوح
أسطوانة دائرية قائمة بسماكة مهملة، وحجم ثابت V>0، ونصف قطر r>0 وارتفاع h>0؛ بقاعدة أو قاعدتين. [1]
اربط الارتفاع بالحجم
V=πr²h؛ المغلقة S=2πr²+2πrh، والمفتوحة S=πr²+2πrh. للحجم الثابت h=V/(πr²)؛ تغيير r يغير h. [1]
استخرج الأبعاد المثلى
لعدد القواعد k=1 أو2، يتحقق الحد الأدنى عند r₀=∛(V/(kπ)) وh=kr₀؛ للمغلقة h=2r، وللمفتوحة h=r. [1][2]
لأي t=r/r₀>0: S/(kπr₀²)−3=(t−1)²(t+2)/t≥0. تتحقق المساواة فقط عند t=1؛ وهذا يثبت الحد الأدنى لجميع الأنصاف الموجبة. [1][2]
انزع الغطاء دون تغيير الأبعاد
للحجم المختار V=128πcm³، أبعاد المغلقة المثلى r=4cm وh=8cm، ومساحتها 96πcm². حذف الغطاء وحده يبقي الأبعاد والحجم، ويخفض المساحة إلى80πcm². [1][2]
أعد اختيار أبعاد المفتوحة
للمفتوحة بالحجم نفسه، r=h=4∛2cm≈5.040cm، والمساحة الدنيا 48π×2^(2/3)cm²≈239.374cm²؛ وهي أقل من80πcm²≈251.327cm². إعادة اختيار الأبعاد تحسن نتيجة نزع الغطاء وحده. [1][2]
اقرأ حدود الحد الأدنى
نقلل مساحة السطوح الهندسية، لا تكلفة تصنيع فعلية. النتيجة تفترض حرية الأبعاد؛ اختلاف أسعار القواعد والجوانب أو وجود حدود للأبعاد يحتاج مسألة أخرى. [2]
المراجع
أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.