أنواع الدالة الأسية في نماذج الكميات الموجبة تشمل النمو عندما يكون عامل التغير أكبر من 1، والاضمحلال عندما يكون بين 0 و 1. الفكرة هي تكرار الضرب بالعامل نفسه خلال فترات متساوية، لا إضافة المقدار نفسه. ويمكن أن تكون الصيغة f(x)=a·b^x مع أس متغير وأساس ثابت. [1]
الأساس يحدد عامل التغير
في النموذج f(x)=a·b^x نأخذ a ≠ 0 و b > 0 و b ≠ 1. قيمة البداية عند x=0 هي a لأن b^0=1. وفي نماذج الكميات الموجبة نقيد a بأنه موجب. [1]
إذا كان b أكبر من 1، تتضاعف الكمية بعامل أكبر من 1 في كل خطوة. وإذا كان بين 0 و 1، تحتفظ الكمية بجزء من قيمتها السابقة. مثلًا عامل 1.1 يعني زيادة 10%، وعامل 0.85 يعني الاحتفاظ 85% أي نقصان 15%.
لا نخلط الدالة الأسية 2^x بدالة القوة x²: في الأولى المتغير في الأس، وفي الثانية المتغير في الأساس والأس ثابت. كذلك (-2)^x ليست دالة حقيقية معرفة لجميع x الحقيقية مثل نموذج الأساس الموجب. [1]
مثالان من البداية نفسها
| الفترة t | نمو 10%:80·1.1^t | اضمحلال 15%:80·0.85^t |
|---|---|---|
| 0 | 80 | 80 |
| 1 | 88 | 68 |
| 2 | 96.8 | 57.8 |
| 3 | 106.48 | 49.13 |
الأرقام كمية افتراضية بلا وحدة مادية محددة، وليست توقعًا لسكان أو شركة. بعد ثلاث فترات، النمو الكلي 106.48−80 = 26.48، ونسبته إلى البداية 26.48/80 = 33.1%. لا نجمع 10% ثلاث مرات إلى 30% لأن أساس النسبة يتغير كل فترة.
في الاضمحلال، النقص الكلي 80−49.13 = 30.87، أي نحو 38.59% من البداية. قيمة الفترة الثالثة 49.13 ناتجة بدقة عن العوامل المختارة هنا، وليس عن تقريب القيم الوسيطة.
لماذا يختلف عن النمو الخطي؟
قارن L(t)=80+8t بنموذج G(t)=80·1.1^t. في الفترة الأولى كلاهما 88. في الثانية يصبح الخطي 96 والأسي 96.8، وفي الثالثة 104 و 106.48.
الزيادات الخطية هي 8 و 8 و 8. أما الأسية فهي 8 ثم 8.8 ثم 9.68، لأن كل زيادة 10% من القيمة الجديدة. لهذا لا يثبت اتفاق النموذجين في أول فترة أنهما يصفان التغير نفسه. [1]
إذا رسمت قيمًا في فترات متقطعة، تكون النقاط قيَم النموذج عند هذه الفترات. وصلها بمنحنى أسي يفترض الصيغة نفسها بين الفترات؛ لا يعد دليلًا أن القياسات الواقعية تتبعها بلا تحقق.
المجال والمدى في الصورة الأساسية
للدالة غير المزاحة ذات a الموجب، المجال جميع الأعداد الحقيقية والمدى الأعداد الموجبة. المنحنى يقطع محور y عند (0,a)، وله تقارب أفقي y=0. يمكن أن يقترب من الصفر دون أن يساويه عند قيمة x حقيقية منتهية. [1][2]
في مثال الرسم f(x)=3·2^x، القيم عند x=−1 و 0 و 1 هي 1.5 و 3 و 6. وللدالة g(x)=3·(1/2)^x هي 6 و 3 و 1.5. المقارنة تستعمل المحاور نفسها وقيمة بداية واحدة.
متى لا يكفي وصف النمو والاضمحلال؟
إذا كان a سالبًا، يقع المنحنى تحت المحور ويتغير اتجاه الرتابة مقارنة بحالة a الموجب. لذلك عبارة «b أكبر من 1 تعني أن الدالة متزايدة دائمًا» تحتاج قيد a>0 في هذه الصورة. [1]
والإزاحة الرأسية تغير التقارب والمدى. للدالة 2^x−3 التقارب y=−3، وليست كل قيمها موجبة. لا تنقل خصائص الصورة الأساسية إلى دالة محولة دون قراءة معادلتها. [2]
ابدأ بتحديد موضع المتغير، ثم الأساس والمعامل وقيمة البداية، ثم اسأل إن كانت المسألة تفترض نسبة ثابتة وفترات متساوية. بهذه الخطوات تختار نموذجًا أسيًا بسبب طريقة التغير، لا لأن العدد صار كبيرًا.
المصادر ومتابعة القراءة
- OpenStax: تعريف الدالة الأسية والنمو النسبي والخصائص (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
- OpenStax: رسوم الدوال الأسية وتحويلاتها (يفتح في نافذة جديدة)openstax.org
أُعدّ هذا المقال بصياغة عربية أصلية بالاستناد إلى المصادر أعلاه، وهو مدخل تمهيدي إلى الموضوع. اقرأ منهجية المحتوى وحدوده.