إنشاء الوسط المتناسب بنصف دائرة: ارفع العمود من وصلة القطعتين

المنتصف مركز الدائرة؛ الوصلة بداية العمود

ضع أ ب وب ج على خط واحد متتاليتين، وارسم نصف الدائرة على أ ج، ثم أقم ب د عموديًا على أ ج حتى القوس. [1]

نختار الطولين4 سم و9 سم. ننقل4 من أ إلى ب، ثم9 من ب إلى ج في الاتجاه نفسه؛ لا ننقل9 من أ ولا نرجع به نحو أ. القطر الكامل13 سم، لأننا جمعنا طولين متتاليين.

نحدد م منتصف أ ج، ونثبت الفرجار عند م بنصف قطر م أ لرسم نصف الدائرة. [4]

في مثالنا م يبعد6.5 سم عن أ وعن ج، بينما ب يبعد4 سم عن أ. اكتب م وب باسمين مختلفين قبل رسم العمود.

لإقامة العمود عند ب، اختر علامتين على الخط متساويتي البعد عن ب. أنشئ مثلثًا متساوي الأضلاع على القطعة بينهما، ثم صل رأسه المقابل بب، فيكون هذا المستقيم عموديًا على الخط. [5]

استعمل طولين موجبين ووحدة واحدة وعلى مستوى إقليدي. في مثالنا نختار نصف الدائرة العلوي؛ النسخة السفلية تعطي المسافة نفسها، لكن لا تغير نقطة بدء العمود من ب إلى مركز الدائرة.

لماذا يساوي مربع العمود حاصل الضرب؟

بما أن أ ج قطر ود نقطة أخرى على القوس، تكون زاوية أ د ج قائمة. [3] والعمود ب د يقسم هذا المثلث القائم إلى مثلثين متشابهين، ويكون وسطًا متناسبًا بين جزأي الوتر. [2]

بترتيب الأضلاع المتناظرة، أ ب/ب د=ب د/ب ج؛ لذلك ب د²=أ ب×ب ج. [2] نأخذ الطول الموجب ب د=√(أ ب×ب ج)، لا الجذر السالب بوصفه طول قطعة.

يمكن فحص المثال دون قراءة قياس من الصورة. نضع أ=(0،0)، ب=(4،0)، ج=(13،0). دائرة المركز م=(6.5،0) ونصف القطر6.5 معادلتها(س−6.5)²+ص²=42.25.

على العمود من ب تكون س=4، فتنتج6.25+ص²=42.25، أي ص²=36. في نصف الدائرة العلوي ص=6، ومن ثم د=(4،6)، وطول ب د=6 سم. الجذر الآخر ص=−6 يقع على النصف السفلي.

المتجهان د أ=(−4،−6) ود ج=(9،−6) حاصل ضربهما−36+36=0، فيؤكد زاوية د القائمة. أما مربعا أ د وج د فهما52 و117؛ مجموعهما169=13²، مربع القطر.

لهذا المثال مساحة مستطيل4×9 هي36 سم²، ومساحة مربع ذي ضلع ب د=6 هي36 سم² أيضًا. لا يعني تساوي المساحتين تساوي المحيطين: محيط المستطيل26 سم، ومحيط المربع24 سم.

خطأ العمود من المنتصف وحالة تساوي القطعتين

في دائرة المثال نفسها، أقم عمودًا من م=(6.5،0). يصل إلى هـ=(6.5،6.5)، فيكون م هـ=6.5 سم. هذه قطعة نصف قطر؛ لا تبدأ عند الوصلة ب=(4،0) التي فصلت4 عن9.

حاصل4×9=36، لكن6.5²=42.25. الفرق6.25 سم² يكشف أن نصف القطر لا يحقق شرط الوسط المتناسب في المثال. التساوي ب د²=أ ب×ب ج يراجع القطعة المطلوبة، لا أي عمود يبدو مناسبًا داخل نصف الدائرة.

إذا عكسنا ترتيب القطعتين، نضع9 أولًا ثم4؛ تبقى أ=(0،0) وج=(13،0)، لكن ب′=(9،0). في معادلة الدائرة نجد(9−6.5)²+ص²=42.25، فينتج ص²=36، ود′=(9،6).

تنعكس د إلى د′ حول العمود من م، ويبقى طول العمود6 سم. التبديل يغير موضع الوصلة، ولا يغير حاصل الضرب4×9=9×4. لذلك سم الوصلة الجديدة ب′، ولا تستعمل إبرة الفرجار عند موضع ب القديم دون نقل القطعتين.

إذا كانت القطعتان6 و6 سم، يكون القطر12 سم، وتكون ب=(6،0) وم=(6،0). يتقاطع العمود بالقوس عند(6،6)، وطوله6 سم. بدء العمود من المنتصف صحيح هنا لأن المنتصف هو الوصلة نفسها.

في طولين عامين موجبين ل وك، نصف القطر ر=(ل+ك)/2، والعمود المطلوب ع يحقق ع²=ل ك. الفرق ر²−ع²=(ل−ك)²/4، وهو صفر فقط عند ل=ك. لا نعمم خطأ مثال4 و9 على حالة التساوي التي اختبرناها.

قطعة الوحدة والجذر وحالة الصفر

إذا كانت إحدى القطعتين وحدة طول، يعطي الإنشاء الجذر التربيعي لطول القطعة الأخرى بعد التعبير عنه بتلك الوحدة. [1]

لنثبت وحدة طول نسميها و. نأخذ أ ب=7و وب ج=1و. حاصل الطولين7و²، لذا ب د=√7 و. القطر8و ونصف القطر4و؛ العمود نفسه ليس4و.

في إحداثيات بوحدة و نضع أ=(0،0)، ب=(7،0)، ج=(8،0)، وم=(4،0). معادلة نصف الدائرة(س−4)²+ص²=16 مع ص≥0. عند س=7 نجد9+ص²=16، فيكون ص=√7≈2.645751.

إذا اخترت و=1 سم، فالناتج√7 سم. وإذا كانت القطعة الأولى7 سم والثانية1 م، يجب تحويل الثانية إلى100 سم قبل حساب حاصل الضرب، فيصبح الناتج√700 سم؛ هذا إنشاء بأطوال مختلفة عن7 سم و1 سم.

إذا كان أ ب=0 وب ج=9 سم، تصبح أ=ب عند(0،0)، وج=(9،0)، وم=(4.5،0). على عمود الوصلة س=0 نجد20.25+ص²=20.25، ومنه ص=0؛ لا توجد د مختلفة فوق طرف القطر.

الصفر يفسر الحد الجبري، لكنه خارج المدخلات الموجبة المستخدمة في الإنشاء والبرهان بالمثلثين. لا تكون نسبة أ ب/ب د معرفة عند0/0. أما طول سالب فليس قطعة معطاة في هذا الإنشاء؛ الإشارة في الإحداثيات تصف الموضع، ولا تحول المسافة إلى عدد سالب.

قبل اعتماد القطعة راجع موضع ب وطولي أ ب وب ج، ثم نصف قطر الدائرة ونقطة تقاطع العمود بالقوس. احتفظ بصيغة الجذر الدقيقة، واستخدم التقريب للقراءة فقط. الصور أمثلة محسوبة، ولا تثبت دقة نقل طول على ورقة فعلية.