الفرق والقاسم المشترك الأكبر: لماذا توجد أزواج بلا نهاية؟

إيجاد عددين من الفرق والقاسم المشترك قد يعطي أزواجًا بلا نهاية. نثبت العائلة الكاملة ودورية القبول، ثم نعد الأزواج إذا قيدنا العدد الأصغر. [1][2]

الخلاصة السريعة

للفرق الموجب القابل للقسمة على القاسم توجد أزواج بلا نهاية؛ الحد الأعلى يجعل العد محدودًا. [1]

• صحيحان موجبان a≤b؛ والقاسم صحيح G>0 والفرق صحيح D=b−a≥0. نطلب gcd(a,b)=G؛ gcd القاسم الأكبر. تبديل الزوج لا يضيف حلًا. [1]
• عند D>0 يلزم أن يقسمه G. ضع N=D/G؛ كل الحلول a=Gk وb=G(k+N)، حيث k≥1 صحيح وgcd(k,N)=1. فالقواسم المشتركة لـk وk+N هي قواسم k وN المشتركة، بالطرح والجمع. [1]
• القبول دوري: gcd(k+N,N)=gcd(k,N). لكل صحيح t≥0، تعطي k=1+tN أزواجًا مختلفة بلا نهاية. G=4 وD=20 يعطيان N=5؛ k=5 مرفوض، فالزوج (20,40) قاسمه 20. [1]
• أضف قيدًا صحيحًا M≥0 للعدد الأصغر: a≤M، فيصبح k≤K=⌊M/G⌋. M=40 يعطي K=10؛ نقبل k=1,2,3,4,6,7,8,9 فقط، فتوجد ثمانية أزواج. [1]
• اكتب K=tN+r، حيث t وr صحيحان و0≤r<N. دالة أويلر φ(N) تعد المقبولين في كل كتلة من N قيم؛ القاسم لا يتغير بإضافة N. العدد tφ(N) زائد المقبولين j من 1 إلى r بشرط gcd(j,N)=1. هنا 10=2×5+0 وφ(5)=4، فالعدد 8؛ لا نقسم على اثنين، لأن كل k يحدد العدد الأصغر. [2]
• عند D=0 يجبر القاسم العددين على (G,G) وحده؛ يقبله القيد إذا M≥G. G=4 وD=21 بلا حل، لعدم القابلية للقسمة. وعند N=1 يقبل كل k≥1؛ φ(1)=1، فيساوي العدد المقيد K. [1][2]

المراجع

1. MathWorld: القاسم
2. MathWorld: دالة أويلر

حساب القاسم المشترك الأكبر

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.