الاستقراء الرياضي: خطوة أساس وبرهان يصل إلى الحالة التالية

ما الذي نريد إثباته؟

لنسم المجموع S(n)=3+7+11+…+(4n−1)، حيث n عدد صحيح و n≥1. ندعي أن S(n)=n(2n+1). عند n=1 نحصل على 3، وعند n=2 نحصل على 10، وعند n=3 نحصل على 21.

نثبت البداية، ثم نفترض صحة العبارة لعدد صحيح اعتباطي k في المجال، ونبرهن الحالة k+1. ^[1]

خطوة الأساس

البداية في مثالنا n=1: الطرف الأيسر S(1)=3، والأيمن 1×(2×1+1)=3، فتتحقق المساواة.

تتبع البداية مجال الادعاء؛ عبارة للأعداد الصحيحة n≥1 لا تشمل كل الأعداد الحقيقية. ^[1]

فرض الاستقراء

الفرض S(k)=k(2k+1)، والمطلوب S(k+1)=(k+1)(2(k+1)+1)؛ يبقى k≥1 اعتباطيًا. ^[1]

نكتب مجموع المثال التالي S(k+1)=S(k)+(4(k+1)−1)=S(k)+4k+3، ثم نستبدل S(k) بالفرض.

خطوة الانتقال

بعد التعويض: S(k+1)=k(2k+1)+4k+3. وبفك الأقواس نجمع 2k²+k+4k+3=2k²+5k+3، ثم نحللها إلى (k+1)(2k+3).

الناتج هو الصيغة المطلوبة عند k+1. مع البداية الصحيحة، يثبت الاستقراء S(n)=n(2n+1) لكل n≥1. ^[1]

للمراجعة العددية بعد البرهان، عند n=4: 3+7+11+15=36، والصيغة تعطي 4×9=36. هذه مراجعة لحسابنا، وليست بديلًا عن الخطوة الرمزية.

لماذا لا تكفي خطوة واحدة؟

تأمل الادعاء الخاطئ n+1=n. إذا افترضناه عند k، أي k+1=k، وأضفنا 1 للطرفين، حصلنا على k+2=k+1، وهي كتابته عند k+1. إذن يمكن بناء انتقال مشروط، رغم أن البداية عند 1 تعطي 2=1 وهي خاطئة.

البداية والخطوة مطلوبتان؛ لا تكفي واحدة منهما لإثبات العموم. ^[1]

راجع المجال والبداية واستعمال الفرض وصيغة الحالة التالية.