الجاذبية الأرضية: الفرق بين g و G وتأثير الارتفاع

ما الفرق بين g و G؟

في مقدار القوة F=GMm/r²، يمثل G ثابت الجذب، و M كتلة الأرض، و m كتلة الجسم، و r المسافة بين المركزين. وحدته N·m²/kg². يصلح هذا الشكل للكتل النقطية والأجسام ذات التناظر الكروي. ^[1]

أما g فتسارع الجاذبية، بوحدة m/s². وزن الجسم W=mg، وفي النموذج الخارجي g=GM/r²؛ لا يعتمد g على كتلة الجسم الصغير. ^[2]

في W=mg، استعمال kg و m/s² يعطي N. اختلاف حجم الحرف يميز الكميتين.

الارتفاع ليس المسافة من المركز

خارج كرة متناظرة r=R+h؛ R نصف القطر و h الارتفاع. لذلك g(h)/g₀=[R/(R+h)]²، حيث g₀ قيمة السطح؛ نهمل الدوران والتفاوت. ^[2]

في مثالنا، إذا كان h=0.5R، فالمسافة 1.5R، والنسبة 1/(1.5)²=4/9. وإذا كان h=R، فالمسافة 2R والنسبة 1/4. مضاعفة الارتفاع وحده لا تعني دائمًا مضاعفة المسافة من المركز.

اخترنا قيمة سطحية مقربة g₀=9.8m/s² وكتلة m=3kg. يعرض الجدول نتائج النموذج للأماكن الثلاثة؛ كتلة الجسم ثابتة، بينما يتغير وزنه:

تأكد من النسبة في آخر صف: 7.35/29.4=0.25. الجسم لم يفقد ثلاثة أرباع كتلته؛ تغير التسارع الذي ضربنا الكتلة فيه.

كيف نفهم السقوط الحر؟

في السقوط الحر تؤثر الجاذبية وحدها في الحركة. عند إهمال مقاومة الهواء تكون عجلة الأجسام في الموضع نفسه واحدة؛ ليس الجسم الأثقل أسرع بسبب كتلته وحدها. قرب السطح نستخدم تقريب g الثابت لمسافة مناسبة. ^[3]

نفترض جسمًا أُطلق من السكون، ونختار الاتجاه إلى أسفل موجبًا. حينئذ v=gt و s=½gt². إذا اخترنا الأعلى موجبًا تغيرت إشارات السرعة والإزاحة، لا اتجاه سقوط الجسم. ^[3]

لمثالنا عند t=1.5s و g=9.8m/s²، نحصل على v=14.7m/s إلى أسفل، و s=11.025m. نحسب الإزاحة من موضع الإطلاق؛ فلا نقول إن هذه القيمة ارتفاع الجسم الباقي دون معرفة ارتفاع البداية.

هل g قيمة واحدة في كل مكان؟

القيمة 9.8m/s² تقريب تعليمي، وليست ثابتًا عالميًا مثل G؛ يتغير g مع الموقع والارتفاع وعوامل محلية. ^[3] لذلك حدد النموذج والمكان عندما تقارن قياسين.

راجع معنى r وشرط النموذج؛ قانوننا الخارجي لا يصف داخل الأرض، ويختلف عن تقريب g الثابت للسقوط القريب.