الحلول الدخيلة بعد التربيع: لماذا نرفض أحد الجذرين؟

الحلول الدخيلة بعد التربيع تحقق المعادلة الجديدة وحدها. [1]

الخلاصة السريعة

الإشارة والتعويض يحسمان الحل. [1]

• نحل مثالًا مؤلفًا √(x+12)=x في الأعداد الحقيقية؛ √ جذر رئيسي غير سالب. تعريف الطرف الأيسر يتطلب x≥−12، لكن المساواة تتطلب أيضًا x≥0. [1]
• من a=b نحصل على a²=b²؛ العكس يسمح a=b أو a=−b للأعداد الحقيقية. لذلك التربيع لا يفقد الحل الأصلي، لكنه قد يضيف مرشحًا بإشارة مقابلة. [1]
• بالتربيع x+12=x²؛ أي x²−x=12. نضيف 1/4 للطرفين: (x−1/2)²=49/4؛ إذن x−1/2=±7/2. المرشحان x=4 و x=−3. [2]
• للأول √(4+12)=4 صحيح. للثاني √(−3+12)=3≠−3؛ الجذر معرف، لكن الإشارة تمنع الحل. الحل الوحيد 4، لا −3. [1]
• المعادلة المربعة تكافئ √(x+12)=|x|، لا الأصل. القيمة المطلقة |x| تتيح قبول −3 هنا؛ المجال وحده لم يستبعده. [1]
• لعبارتين حقيقيتين A و B: √A=B تكافئ A=B² وB≥0؛ لذا A≥0. احفظ الشرط وافحص المرشحين بالأصل. [1]

المراجع

1. المعادلات الجذرية
2. إكمال المربع

الجذر التربيعي

أُعدّ هذا المقال بمساعدة الذكاء الاصطناعي، وخضع لمراجعة ذاتية بالأداة نفسها. لا يُنسب إلى مراجع بشري أو خبير مستقل. منهجية المحتوى.