الدائرة ومحيطها: الأجزاء والقوانين وأمثلة على القوس والقطاع

أجزاء الدائرة التي نحتاج إليها

الدائرة هي الخط المحيط، والمنطقة داخلها هي القرص الدائري. في الاستخدام المدرسي قد يقال «مساحة الدائرة» ويقصد مساحة المنطقة المحصورة بهذا الخط. التمييز يساعدنا على فصل قياس طول الحد عن قياس المساحة. ^[1]

القطر أطول وتر في الدائرة. أما القطاع الدائري فهو منطقة محصورة بين نصفي قطر وقوس، وتختلف عنه القطعة الدائرية التي تحدها قطعة وتر وقوس. المماس ليس وترًا لأنه لا يصل بين نقطتين مختلفتين على الدائرة. ^[2][3][4]

قانون محيط الدائرة ومساحتها

إذا رمزنا لنصف القطر بـ r وللقطر بـ d، فإن d = 2r و C = 2πr = πd. مساحة القرص A = πr². الأول يعطي طولًا، والثاني يعطي مساحة؛ لذلك لا تتبادل وحدتاهما. ^[1]

لدائرة نصف قطرها 4.5 سم يكون القطر 9 سم. محيطها C = 9π ≈ 28.274 سم، ومساحتها A = 20.25π ≈ 63.617 سم². استعمال القطر 9 في القانون 2πr يضاعف المحيط خطأ، لأنه يعامل القطر كنصف قطر.

إذا أعطي المحيط 15π سم، نستخرج نصف القطر r = C/(2π) = 7.5 سم، والقطر 15 سم. المساحة عندئذ π × 7.5² = 56.25π سم². لا نستخرج المساحة بمضاعفة المحيط؛ نحتاج نصف القطر ونربعه.

العدد π ليس مساويًا تمامًا لـ 3.14 أو 22/7؛ كلاهما تقريب. الاحتفاظ بالرمز حتى السطر الأخير يمنع تراكم خطأ التقريب، وتكون الإجابة العشرية مصحوبة بعلامة التقريب.

المماس والوتر: مثال يفسر الفرق

عند نقطة التماس، تكون الزاوية بين المماس ونصف القطر 90 درجة. هذه خاصية هندسية، ولا تعني أن أي مستقيم عمودي على أي وتر هو مماس. يجب تحديد نقطة على الدائرة ونصف القطر الواصل إليها. ^[2]

في دائرة نصف قطرها 5 سم، يقع وتر على بعد 3 سم من المركز. العمود من المركز على الوتر ينصفه؛ يتكون مثلث قائم وتره 5 وأحد ضلعيه 3. نصف طول الوتر √(25 − 9) = 4 سم، فيكون طول الوتر كاملًا 8 سم.

هذا الوتر أقصر من القطر 10 سم. لو مر الوتر بالمركز، لأصبحت مسافة المركز عنه صفرًا، وأصبح نصف طوله 5 سم. المثال يفسر لماذا يكون القطر أطول وتر، من غير الخلط بينه وبين طول القوس المنحني بين الطرفين.

طول القوس ومساحة القطاع

لزاوية مركزية θ مقاسة بالدرجات، يمثل القطاع نسبة θ/360 من الدائرة الكاملة. لذلك طول القوس L = (θ/360) × 2πr، ومساحة القطاع A_sector = (θ/360) × πr². نسبة الزاوية نفسها تطبق على مقدارين مختلفين. ^[3][4]

خذ نصف قطر 6 سم وزاوية 120 درجة. القطاع ثلث الدائرة؛ طول قوسه L = (120/360) × 12π = 4π ≈ 12.566 سم، ومساحته A_sector = (120/360) × 36π = 12π ≈ 37.699 سم².

محيط القطاع ليس طول القوس وحده. له أيضًا ضلعان مستقيمان، طول كل منهما 6 سم؛ لذلك محيطه P_sector = L + 2r = 4π + 12 ≈ 24.566 سم. هذه النتيجة تخص القطاع المرسوم ذي زاوية 120 درجة؛ حد دائرة كاملة لا يتضمن نصفي قطر إضافيين.

إذا كانت الزاوية بالراديان، فصيغة طول القوس L = rθ. لا نضع عدد درجات في هذه الصيغة؛ تحويل وحدة الزاوية جزء من اختيار القانون الصحيح. ^[3]

كيف ترسم دائرة وتراجع حسابك؟

اختر مركزًا، وافتح الفرجار على نصف القطر المطلوب، ثم ثبت السن عند المركز وأدر القلم مع الحفاظ على الفتحة. ثبات المسافة بين السن والقلم هو ما يجعل جميع النقاط تقع على دائرة واحدة.

• تأكد أن القطر يساوي ضعف نصف القطر.
• اكتب وحدة طول للمحيط والقوس، ووحدة مربعة للمساحة.
• حدد هل المطلوب قوس فقط أم الحد الكامل لقطاع.
• افحص التناسب: مضاعفة نصف القطر تضاعف المحيط وتزيد المساحة إلى أربعة أمثالها.

بهذه المراجعة تصبح أجزاء الدائرة أدوات لفهم المسألة. لا يكفي التعرف إلى شكل دائري ثم اختيار أول قانون يحتوي π؛ المطلوب ونوع الوحدة يحددان الطريق.