الفرق بين المعادلة التفاضلية العادية والجزئية بأمثلة

المتغير المستقل والدالة المجهولة

في dy/dx=2x نبحث عن الدالة y التي تعتمد على x وحده؛ فهي معادلة تفاضلية عادية. الرمز dy/dx مشتقة عادية بالنسبة إلى المتغير المستقل x. ويمكن أن يكون المتغير المستقل وقتًا مثل t؛ اسمه لا يحدد نوع المعادلة. ^[1]

أما إذا كانت الدالة u(x,t) تعتمد على الموقع x والزمن t، فنميز ∂u/∂x عن ∂u/∂t. المشتقة الأولى تقيس التغير المكاني عند تثبيت الوقت، والثانية التغير الزمني عند تثبيت الموقع. معادلة تحتوي هذه المشتقات الجزئية تصنف ضمن المعادلات الجزئية. ^[1][4]

وجود أكثر من دالة مجهولة لا يجعل النظام جزئيًا وحده. فقد يحتوي النظام دالتين y(t) و z(t)، وتبقى جميع المشتقات بالنسبة إلى t؛ عندئذ هو نظام معادلات تفاضلية عادية.

مقارنة النوع والرتبة والخطية

الرتبة هي أعلى رتبة اشتقاق تظهر في المعادلة. لذلك y″+y=0 عادية من الرتبة الثانية، و u_t=u_xx جزئية من الرتبة الثانية رغم وجود مشتقة زمنية أولى؛ المشتقة المكانية الثانية هي الأعلى. ^[2]

الخطية سؤال آخر: تظهر الدالة المجهولة ومشتقاتها خطيًا، من غير ضربها بعضها في بعض أو رفعها لقوة غير الأولى. يمكن أن تتغير المعاملات مع المتغيرات المستقلة. مثلًا y′=y² عادية غير خطية، بينما u_t=u_xx في مثالنا جزئية خطية. ^[2]

حل عادي وشرط يختار دالة واحدة

لحل y′=2x نكامل فنحصل على y=x²+C. اشتقاق الطرف الأيمن يعطي 2x، فيتحقق الحل لكل ثابت حقيقي C. الصيغ الثلاث x² و x²+1 و x²−1 تظهر في الرسم الرئيسي كمنحنيات مختلفة. ^[3]

إذا أضفنا الشرط y(0)=3، نحصل على 3=0²+C، أي C=3. فيكون الحل المحدد y=x²+3. اختيار الشرط لا يغير نوع المعادلة؛ إنه يحدد عضوًا من عائلة حلولها.

يحتاج ضمان وجود حل وحيد إلى شروط مناسبة على المعادلة والبيانات، لذلك لا نستنتج أن كل شرط ابتدائي يحل كل معادلة تلقائيًا. في هذا المثال المباشر نستخرج الحل ونتحقق منه حسابيًا.

حل جزئي يمكن اختباره بالمشتقات

في المثال u_t=u_xx، خذ u(x,t)=e^(−t) sin x. عند تثبيت x نجد u_t=−e^(−t) sin x. وبالاشتقاق مرتين بالنسبة إلى x نجد u_xx=−e^(−t) sin x. إذن الطرفان متساويان، والدالة تحقق المعادلة.

على المجال 0≤x≤π و t≥0، تحقق هذه الدالة u(0,t)=0 و u(π,t)=0، كما تحقق u(x,0)=sin x. اخترنا معامل الانتشار 1 ووحدات بلا أبعاد لهذا المثال التعليمي، ولا نفسر العدد e^(−t) على أنه قياس فعلي لمادة محددة.

يمكن فهم المعادلة بوصفها نموذجًا للانتشار الحراري أحادي البعد، حيث يرتبط تغير التوزيع مع الزمن بانحنائه في المكان. لكن «أحادي البعد» هنا يعني بعدًا مكانيًا واحدًا؛ تظل الدالة تعتمد على المكان والوقت، لذلك تبقى المعادلة جزئية. ^[4]

الشروط الابتدائية والشروط الحدية

الشرط الابتدائي u(x,0)=sin x يصف التوزيع في كامل القطعة عند الوقت صفر. والشرطان الحديان u(0,t)=0 و u(π,t)=0 يصفان طرفي القطعة لكل وقت. يلزم فحص اتساق البيانات عند الزوايا؛ هنا تعطي sin0 و sinπ صفرًا، فيتفق الشرط الابتدائي مع الطرفين. ^[4]

في الرسم الداخلي، الحافة السفلية في مجال x–t تمثل الوقت صفر، والحافتان الرأسيتان تمثلان الطرفين المكانيين. هذا الرسم يبين موضع تطبيق الشروط، بينما الرسم الرئيسي يبين قيم الحل عند أزمنة مختارة.

للشروط الحدية أشكال أخرى، منها تحديد مشتقة على الطرف بدل قيمة الدالة. نوع الشرط يعتمد على النموذج؛ لا نستبدل تثبيت درجة حرارة بعزل طرف دون تغيير الصيغة المطلوبة. ^[4]

كيف تصنف معادلة أمامك؟

• حدد المتغيرات التي تعتمد عليها كل دالة مجهولة.
• افحص هل المشتقات عادية أم جزئية، وبالنسبة إلى أي متغيرات.
• حدد أعلى رتبة اشتقاق، مع احتساب المشتقات المكانية والزمنية.
• افحص الخطية مستقلة عن عدد المتغيرات والرتبة.
• اقرأ المجال والشروط المصاحبة، ثم تحقق من الحل بالتعويض والمشتقات.

لا توجد قاعدة عامة تقول إن كل معادلة جزئية أصعب من كل عادية. كما أن الطرق قد ترتبط ببعضها؛ فصل المتغيرات في بعض المعادلات الجزئية ينتج مسائل عادية. لكن القدرة على هذا التحويل في مثال معين لا تلغي الفرق بين تعريف النوعين. ^[4]