القطوع الزائدة في الرياضيات: البؤرتان والمقاربان بمثال

الخلاصة السريعة

القطع الزائد منحنى ذو فرعين؛ تثبت القيمة المطلقة لفرق المسافتين من كل نقطة إلى بؤرتين. المحور الذي يحمل الحد التربيعي الموجب يحدد اتجاه الفتح في الصورة غير المدورة. ^[1]

• في الصورة الأفقية (x−h)²/a² − (y−k)²/b² = 1، المركز (h,k)، و c² = a²+b²، مع a,b > 0. ^[1]
• للمثال (x+2)²/9 − (y−1)²/16 = 1: المركز (−2,1)، a = 3 و b = 4 و c = 5.
• الرأسان (−5,1),(1,1)، والبؤرتان (−7,1),(3,1)، والمقاربان y−1 = ±(4/3)(x+2).
• النقطة P(3,19/3) تحقق المعادلة؛ بعداها عن البؤرتين 34/3 و 16/3، والفرق 6 = 2a.
• بتبديل ترتيب الحدين في المثال يصبح الفتح رأسيًا، وتتغير الرؤوس والبؤرتان، بينما تبقى المقاربات نفسها في هذا الزوج المختار.

المركز والمحوران في المعادلة

للقطع الزائد الأفقي غير المدور الرأسان (h±a,k)، والبؤرتان (h±c,k)، والمقاربان y−k = ±(b/a)(x−h). العلاقة c² = a²+b². ^[1]

نختار (x+2)²/9 − (y−1)²/16 = 1. الأقواس تعطي h = −2 و k = 1. المقامان مربعان: a = √9 = 3 و b = √16 = 4؛ ثم c = √25 = 5.

إذن الرأسان (−2±3,1) والبؤرتان (−2±5,1). طول المحور القاطع 6 والمرافق 8 في هذا المثال. المقام الأكبر 16 لا يختار اتجاه الفتح؛ الحد الموجب هنا تحت x.

فحص أصلي بمعادلة وفرق مسافتين

اخترنا P(3,19/3). الفرقان عن المركز هما 5 و 16/3. بالتعويض: 25/9 − [(16/3)²/16] = 25/9−16/9 = 1.

إلى F₂(3,1) المسافة 16/3. وإلى F₁(−7,1) المسافة √[10²+(16/3)²] = √(1156/9) = 34/3. الفرق المطلق |34/3−16/3| = 6، وهو نفسه 2a.

الفحصان مستقلان في العرض: الأول يختبر المعادلة، والثاني يقيس فرق البعدين للنقطة المختارة. لا نخلط فرق المسافتين بمجموعهما، ولا نسمي المركز بؤرة.

في المقارب المختار y−1 = (4/3)(x+2)، تعويض العلاقة في الطرف الأيسر يعطي 0 بدل 1. لذلك ليس هذا الخط جزءًا من فرع المثال.

تبديل الحد الموجب ليس نقلًا بسيطًا

نقارن مع معادلة جديدة بنفس المركز: (y−1)²/16 − (x+2)²/9 = 1. الآن a = 4 و b = 3؛ c يبقى 5 في هذا الاختيار، لكن الرأسين يصيران (−2,−3),(−2,5).

البؤرتان الجديدتان (−2,−4),(−2,6)، والمقاربان y−1 = ±(4/3)(x+2). في هذا الزوج المختار تتطابق المقاربات، مع اختلاف اتجاه الفرعين؛ لا يلزم أن يتغير ميل المقارب في كل تبديل للحدين.

من الاختبار x = −2 في المعادلة الجديدة نحصل على (y−1)² = 16، فتظهر قيمتا الرأس. في الأولى، وضع y = 1 يعطي (x+2)² = 9؛ إنها مراجعة مباشرة لا تخمين من مظهر الفرعين.

هذه المقارنة تخص صورتين غير مدورتين بأطوال موجبة. عند وجود حدود مختلطة أو تغيير الطرف الأيمن، أعد ترتيب المسألة قبل نقل هذه النتائج.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: القطوع المخروطية: الفرق بين الدائرة والناقص والمكافئ والزائد.