بحث عن المثلثات المتطابقة: المعايير والتناظر وحدود SSA

الخلاصة السريعة

يتطابق مثلثان عندما يمكن مطابقتهما بالحركة والدوران أو الانعكاس؛ تتساوى أضلاعهما وزواياهما المتناظرة، مع بقاء الشكل والحجم. ^[1]

• SSS: ثلاثة أضلاع متناظرة متساوية. SAS: ضلعان والزاوية المحصورة. ASA: زاويتان والضلع بينهما. ^[1]
• AAS يستعمل زاويتين وضلعًا غير محصور؛ ولمثلثين قائمين يكفي الوتر وساق متناظرة. ^[1]
• دوران مثلث المثال ذي الأطوال 6 و 8 و 10 لا يغيرها؛ التناظر A↔D و B↔E و C↔F محفوظ.
• AAA يثبت الشكل المتشابه، ولا يفرض الحجم نفسه. ^[1]
• SSA ليس ضمانًا عامًا: في المثال AB = 10 و BC = 6 و∠A = 30° توجد قيمتا AC ≈ 5.344 و 11.977.

البيانات التي تكفي وموقع الزاوية

في SAS تقع الزاوية بين الضلعين المعطيين. في ASA يقع الضلع بين الزاويتين، وفي AAS لا يكون بينهما. SSS يقارن الأزواج الثلاثة. ^[1]

للمثلثين القائمين، تساوي الوتر وساق متناظرة معيار تطابق أيضًا؛ يجب معرفة أنهما قائمان. ^[1]

لا يكفي جمع ثلاثة رموز في اسم اختبار؛ ضع كل معطى على موضعه في الرسم. ضلعان وزاوية بعيدة عن نقطة التقائهما ليسا البيانات المحصورة التي يطلبها SAS.

مثال أصلي يحفظ التناظر بعد الدوران

نختار A(0,0) و B(6,0) و C(0,8). الأطوال AB = 6 و AC = 8 و BC = √(36 + 64) = 10.

نطبق T(x,y) = (14 − y, 2 + x): فنحصل على D(14,2) و E(14,8) و F(6,2). هذه حركة دوران وانتقال في المثال، لا تكبير.

نحسب DE = 6 و DF = 8 و EF = 10. الأزواج كلها متساوية، فينجح فحص SSS. ترتيب ABC مع DEF يحفظ أي ضلع ينبغي مقارنته بأي ضلع.

قد يبدو الضلع الأفقي في الأول رأسيًا في الثاني. الاتجاه على الصفحة ليس اسم التناظر؛ الإحداثيات والمسافات تمنع أن نقارن AB مع DF لمجرد وضع الرسم.

لماذا لا تكفي الزوايا أو SSA دائمًا؟

زوايا متناظرة متساوية يمكن أن تأتي في مثلثين مختلفي الحجم؛ AAA وحده لا يثبت التطابق. ^[1] وكذلك قد تعطي بيانات SSA مثلثين مختلفين، فلا تعد ضمانًا عامًا. ^[2]

نبني مثالًا مستقلًا: A(0,0) و B(10,0)، ونختار C على شعاع يصنع 30° مع AB، على بعد t من A. نطلب BC = 6.

مع C(t cos30°, t sin30°)، يعطينا شرط المسافة (t cos30° − 10)² + (t sin30°)² = 36؛ وبالتبسيط t² − 10√3t + 64 = 0.

الحلان t = 5√3 ± √11، أي نحو 5.343628 و 11.976879. كلاهما موجب ويعطي BC = 6، لكن طول AC مختلف؛ لذلك لا يتطابق هذان المثلثان.

هذا مثال على عدم كفاية البيانات العامة، وليس حكمًا بأن كل مسألة من نوع SSA تملك حلين. أي شرط إضافي يجب قراءته قبل استنتاج العدد.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: تشابه المثلثات: معايير التشابه ونسب الأطوال والمساحات.