مفهوم الهندسة اللاإقليدية: التوازي والمثلث على الكرة

الخلاصة السريعة

في الهندسة اللاإقليدية تتغير قواعد هندسية، مثل مسلمة التوازي، عن النموذج الإقليدي المستوي. الهندسة الكروية والزائدية مثالان؛ نحدد الخط والمسافة داخل النموذج قبل الحساب. ^[1][2]

• في المستوى الإقليدي يمر موازٍ واحد من نقطة خارج خط؛ في المستوى الزائدي توجد خطوط متعددة لا تقطعه. ^[2]
• أضلاع المثلث الكروي أقواس دوائر عظمى؛ مركز الدائرة العظمى مركز الكرة. ^[1]
• مجموع الزوايا 180° للمثلث المستوي، أكبر منها للكروي المعتاد، وأقل منها للزائدي. ^[1][2]
• في مثال كرة الوحدة، فرق خطي الطول 60° يعطي زوايا 90°,90°,60°، ومجموعًا 240° ومساحة π/3.
• إضافة محور z إلى إطار ديكارتي لا تجعل الهندسة تلقائيًا لاإقليدية. الكرة جسم في الفضاء، ودراسة مسارات سطحها اختيار آخر. ^[3][1]

ما الذي يتغير في التوازي والزوايا؟

نقصد بالتوازي هنا عدم تقاطع الخطين داخل النموذج. للمستوى الإقليدي موازٍ واحد من نقطة خارج خط، وللزائدي عدد غير منتهٍ من الخطوط غير المتقاطعة معه. ^[2]

مجموع زوايا المثلث الزائدي أقل من 180°، بينما المستوي 180° والكروي المعتاد أكبر. ^[1][2] لا تفترض أن شكلًا مرسومًا على ورقة يحدد النموذج وحده.

في بطاقات المقارنة نعطي خصائص، لا ثلاثة مثلثات ذات قياسات مخمنة من الرسم. قبل نقل نتيجة، اكتب أين تقع الأضلاع وما المقصود بالخط في المسألة.

مثال أصلي على كرة الوحدة

في النموذج الكروي نستخدم أقواس دوائر عظمى. مساحة مثلث على كرة الوحدة تساوي مجموع زواياه بالراديان ناقص π. ^[1]

نختار القطب الشمالي N، ونقطتي الاستواء A عند خط طول 0° و B عند 60°. نصل N بكل نقطة بقوس زوال، ونصل A و B بقوس الاستواء الأقصر؛ كل قوس على دائرة عظمى.

يلتقي كل زوال بالاستواء بزاوية 90°؛ والزاوية عند N هي فرق الطولين 60°. إذن المجموع 240° = 4π/3 راديان. المساحة في كرة الوحدة 4π/3 − π = π/3 وحدة مساحة.

يمكن التحقق من الزاوية الشمالية باستخدام الاتجاهين (1,0,0) و(½,√3/2,0) في المستوى المماس عند N؛ حاصل ضربهما ½ وطول كل منهما 1، فتكون الزاوية 60°. لا نقيسها بمنقلة على إسقاط الكرة.

عدد الأبعاد واختيار السطح

الإطار الديكارتي الثلاثي يستعمل ثلاثة محاور متعامدة. ^[3] وجود إحداثيات x,y,z لا يحدد وحده تغيير قواعد التوازي أو المسافة.

فرّق في مثالنا بين وتر A إلى B داخل الكرة وقوس الاستواء بينهما. على كرة الوحدة، طول الوتر √[(½−1)²+(√3/2)²] = 1، وطول القوس المختار π/3 ≈ 1.0472.

القيمتان تخصان طريقين مختلفين بين الطرفين؛ لا نستبدل مسافة سطحية بطول وتر من دون قراءة المطلوب.

حدد قيود المسار ومعنى الخط قبل كتابة القانون. تشابه الرسم الخارجي لا يجعل مثلث سطح كرة مثلثًا مستويًا، ولا يحول كل جسم ذي حجم إلى مثال لاإقليدي.

للمتابعة في موضوع قريب، اقرأ: مفهوم الهندسة الرياضية: الأشكال والإحداثيات واختيار النموذج.