تحليل المتجهات: المركبات والإشارات والزاوية بأمثلة

اختر المحاور ومرجع الزاوية

نكتب المتجه في بعدين A=(A_x,A_y)، بحيث تمثل كل مركبة مقدارًا موقّعًا على محور. إذا قيس اتجاهه بزاوية θ من محور x الموجب عكس عقارب الساعة، فإن A_x=A cosθ و A_y=A sinθ، حيث A مقدار المتجه غير السالب. ^[1]

ارسم زاوية المسألة قبل الحساب. لا يكفي أن ترى 30° فتربطها آليًا بالمحور الأفقي؛ قد تكون مقاسة من الرأسي، أو تحت الأفقي، أو من اتجاه سالب. تحديد المرجع هو ما يجعل استعمال جيب الزاوية أو جيب تمامها صحيحًا. ^[1]

الإشارة جزء من المعنى

بالاتفاق المعتاد، المركبة نحو اليمين موجبة ونحو اليسار سالبة؛ إلى أعلى موجبة وإلى أسفل سالبة. في الربع الثاني تكون A_x<0 و A_y>0، رغم أن مقدار المتجه A موجب. لا تعني المركبة السالبة قوة ذات مقدار سالب، بل اتجاهًا معاكسًا للمحور الموجب. ^[1]

إذا قادك مثلث مرسوم إلى أطوال موجبة، فحدد الإشارات من اتجاه الإسقاطين بعد ذلك. أما الصيغ التي تستعمل زاوية اتجاه كاملة من محور x الموجب، فإن إشارات جيب الزاوية وجيب تمامها تعطي الإشارات مباشرة.

مثال في الربع الثاني

قوة مقدارها 20 نيوتن تصنع زاوية 150° وفق المرجع السابق. نحسب A_x=20 cos150°=−10√3≈−17.321 N، و A_y=20 sin150°=10 N. الجزء الأفقي نحو اليسار، والرأسي إلى أعلى.

نراجع المقدار من المركبتين: √(A_x²+A_y²)=√(300+100)=20 N. لا نجمع −17.321 و 10 لنحصل على مقدار القوة؛ الجمع العددي هنا لا يمثل طول المتجه. والأسهم المسقطة في الرسم تصل إلى نهاية المتجه نفسها. ^[1]

إذا كانت الزاوية مقاسة من الرأسي

قوة مقدارها 12 نيوتن مائلة إلى اليمين، وزاويتها 30° من محور y الموجب. في هذا المثلث تكون المركبة الرأسية مجاورة للزاوية، فنجد F_y=12 cos30°=6√3≈10.392 N، والأفقية مقابلة لها: F_x=12 sin30°=6 N.

يمكن تحويل الزاوية إلى 60° من محور x الموجب ثم استعمال الصيغ المعتادة، فنحصل على المركبتين نفسيهما. تبديل الجيبين هنا ناتج عن تغيير مرجع الزاوية، ولا يعني أن قوانين التحليل تغيرت. ^[1]

جمع المتجهات بعد التحليل

إزاحة أولى A=(6,8) m، وثانية B=(−2,3) m. نجمع القيم على المحور نفسه: R=A+B=(4,11) m. مقدار المحصلة |R|=√(4²+11²)=√137≈11.705 m. ^[2]

لأن المركبتين موجبتان، يقع الاتجاه في الربع الأول، وتكون زاويته من محور x الموجب θ=atan(11/4)≈70.017°. في حالات أخرى يلزم مراعاة الربع؛ إذا أعطتك الحاسبة دالة atan2(y,x) فهي تحافظ على معلومات إشارتَي المركبتين عند استعمالها وفق تعريفها.

مقدار الإزاحة الأولى 10 م، والثانية √13 m. مجموع المقدارين يقارب 13.606 م، لكنه لا يساوي مقدار المحصلة 11.705 م؛ اختلاف الاتجاهين يمنع هذا الاختصار. مقدار الجمع يساوي مجموع المقدارين عندما يكون المتجهان في الاتجاه نفسه. ^[2]

التحقق والحالات الخاصة

في ثلاثة أبعاد، نضيف مركبة ثالثة: مثلًا المتجه (2,−3,6) مقداره √(4+9+36)=7. تبقى فكرة الجمع مركبة بمركبة، لكن وصف الاتجاه يحتاج أكثر من زاوية واحدة عادة. ^[1][2]

قبل تسليم الحل، افحص وحدة المركبات، والربع، ثم أعد بناء المقدار. هذه مراجعات قصيرة تكشف خلط المحاور أو إدخال الحاسبة بالراديان بدل الدرجة إذا كانت زاوية المسألة بالدرجات.