تحويل الكسور العادية والعشرية: المنتهي والدوري بأمثلة

الخلاصة السريعة

نحوّل الكسر العادي إلى عدد عشري بقسمة البسط على المقام غير الصفري. ولتحويل عدد عشري منتهٍ إلى كسر، نستخدم مقامًا من قوى 10 ثم نبسّط.^[1]

• بعد اختزال الكسر، ينتهي تمثيله العشري إذا لم يتضمن مقامه عوامل أولية سوى 2 و 5؛ والمقام 1 حالة منتهية أيضًا.^[2]
• في مثالنا: 11/40 = 0.275، وبالعكس 0.275 = 275/1000 = 11/40.
• العدد 1.2777… في هذا المقال يعني أن الرقم 7 يتكرر بلا نهاية، ويساوي 23/18.
• للدوري نضرب في قوى 10 ثم نطرح لإلغاء الجزء المتكرر.^[3]
• العدد 0.333 يساوي 333/1000؛ أما 0.333… مع تكرار 3 فيساوي 1/3.^[1]

من الكسر العادي إلى التمثيل العشري

تعطي قسمة البسط على المقام تمثيل الكسر. وقد تنتهي الأرقام، أو يستمر نمط دوري؛ وتُبيّن علامة التكرار أن الأرقام لا تتوقف عند آخر رقم مكتوب.^[1]

لنحسب 11 ÷ 40: الباقي الأول 11. بعد إضافة منزلة يصبح 110، فنكتب 2 ويبقى 30؛ ثم 300 ÷ 40 يعطي 7 وباقيًا 20؛ ثم 200 ÷ 40 يعطي 5 وباقيًا صفرًا. النتيجة 0.275.

نفحص المقام بعد الاختزال. وجود عوامل 2 و 5 فقط يسمح بكتابته مقامًا يقسم قوة من قوى 10. أما وجود عامل أولي آخر فيؤدي إلى تمثيل دوري غير منتهٍ.^[2]

في المثال 7/12، لا يوجد اختزال، والمقام 12 = 2² × 3 يتضمن 3. القسمة تعطي 0.58333… حيث يتكرر 3، وليس العدد المنتهي 0.583.

ولهذا يختلف العدد المنتهي 0.333 عن ثلث كامل؛ فـ 1/3 يساوي 0.333… مع استمرار تكرار الرقم 3.^[1]

من العدد العشري المنتهي إلى الكسر

عدد المنازل بعد الفاصلة يحدد قوة 10 في المقام. نزيل الفاصلة لكتابة البسط، ثم نختزل الكسر الناتج.^[3]

لأن 0.275 يحتوي ثلاث منازل، نكتبه 275/1000. القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام 25؛ وبقسمة الطرفين عليه نحصل على 11/40.

وفي مثال أكبر من 1، نكتب 2.45 = 245/100 = 49/20. استخدام كل الأرقام في البسط يحفظ الجزء الصحيح مع الجزء العشري.

الاختبار بسيط: اقسم 49 على 20؛ تحصل على 2.45. وإذا كتبت المقام 10 بدل 100 تغير العدد إلى 24.5، لذلك يجب عدّ المنازل بدقة.

تحويل العدد العشري الدوري إلى كسر

نختار قوى 10 التي تصفّ الجزء المتكرر في عمليتين، ثم نطرحهما ونحل المعادلة. بذلك نزيل التكرار دون استبداله بأرقام مقطوعة.^[3]

خذ x = 1.2777… مع تكرار 7 وحده. توجد منزلة غير دورية واحدة ودورة من رقم واحد؛ نكتب:

العدد 1.2777 المكتوب بأربع منازل يساوي 12777/10000، فلا يُستبدل به العدد الدوري الدقيق. يُكتب 23/18 ≈ 1.2778 عند تقريب المثال إلى أربع منازل.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: الأعداد النسبية وغير النسبية: كيف تميز بينهما في الكسور والجذور؟