تحويل هار: ماذا نفقد عند حذف معاملات التفاصيل؟

حدد التطبيع والأزواج قبل الحساب

يستخدم تحليل هار فروق متوسطات موزونة عبر مقاييس مختلفة. [1] وتعرض وثائق PyWavelets مرشحات هار بمعاملات قدرها √2/2. [2]

نختار أربع قيم حقيقية منتهية x0 وx1 وx2 وx3، متساوية التباعد، بلا قيم مفقودة. نبدأ بالزوجين (x0,x1) و(x2,x3). لا نضيف عينات عند الأطراف؛ فالقيم الأربع تكفي لمستويين وفق الأزواج المحددة.

لكل زوج مرتب (u,v)، نعرّف معامل التقريب a=(u+v)/√2 ومعامل التفاصيل d=(u−v)/√2. اخترنا طرح اليمين من اليسار. تغيير إشارة التعريف أو ترتيب المعاملات يتطلب تعديل قاعدة العكس؛ لذا نحفظ الاصطلاح مع البيانات. [2]

المتوسط العادي للزوج هو (u+v)/2، بينما a=√2 مضروبًا في ذلك المتوسط. لا نقرأ معامل التقريب كأنه متوسط القيم من دون مراعاة التطبيع. العامل √2 سيجعل هوية حفظ مجموع المربعات واضحة في اشتقاقنا.

نسمّي تقريبي المستوى الأول a0 وa1، وتفصيليه d0 وd1. ثم نطبق قاعدة الزوج على (a0,a1): A=(a0+a1)/√2 وD=(a0−a1)/√2. نحفظ الأربعة بالترتيب [A,D,d0,d1]؛ A تقريب المستوى الثاني، وD تفصيله.

حوّل أربع عينات ثم استعدها

خذ بياناتنا المفترضة [2,2,6,10]. الزوج الأول يعطي a0=2√2 وd0=0، والزوج الثاني يعطي a1=8√2 وd1=−2√2. بتطبيق المستوى الثاني نجد A=10 وD=−6؛ فتكون المعاملات [10,−6,0,−2√2].

لعكس كل زوج نستخدم u=(a+d)/√2 وv=(a−d)/√2. أولًا نعكس (A,D)، فيرجع a0=(10−6)/√2=2√2 وa1=(10+6)/√2=8√2. ثم نعكس (a0,d0) و(a1,d1)، فنستعيد [2,2,6,10] بالترتيب نفسه.

الصيغ تعطي لأي أربع قيم A=(x0+x1+x2+x3)/2. إذن A يساوي ضعفي المتوسط الحسابي لهذه الكتلة. هنا المتوسط 20/4=5، بينما A=10. معامل المستوى الثاني ليس قيمة العينة ولا المتوسط العادي.

عند d0=0 يكون x0=x1، لأن فرقهما صفر. لكن d1=−2√2 وD=−6 غير صفريين؛ فالسجل كله ليس ثابتًا. الصفر يصف الفارق الذي قيس عند ذلك الزوج والمستوى.

ولا تكفي مقادير التفاصيل من دون إشاراتها لإعادة القيم بالترتيب. إذا قلبنا d1 إلى +2√2 وأبقينا بقية المعاملات، نحصل بالعكس على [2,2,10,6]. المقدار نفسه، لكن اليمين واليسار في الزوج الأخير تبادلا موضعيهما.

حذف التفاصيل له خطأ قابل للحساب

يناقش مرجع هار توزيع مجموع مربعات الإشارة بين المقاييس. [1] في المثال التالي نقصد بالطاقة مجموع المربعات رياضيًا؛ لا نقيس طاقة فيزيائية بالجول.

لأي u وv حقيقيين، a²+d²=((u+v)²+(u−v)²)/2=u²+v². نطبق الهوية على الزوجين، ثم على زوج التقريب: x0²+x1²+x2²+x3²=A²+D²+d0²+d1². في مثالنا: 4+4+36+100=100+36+0+8=144.

لنحذف تفاصيل المستوى الأول فقط، أي نضع d0=d1=0 ونحتفظ بـA=10 وD=−6. يعود التقريبان 2√2 و8√2، وكل زوج يعود بقيمتين متساويتين: [2,2,8,8]. الفروق عن الأصل [0,0,−2,2]؛ مجموع مربعاتها 8.

أما حذف D أيضًا فيترك [10,0,0,0]. العكس يعطي [5,5,5,5]، أي متوسط الكتلة مكررًا. الفروق عن الأصل [−3,−3,1,5]؛ مجموع مربعاتها 9+9+1+25=44، وهو 36+8 من التفاصيل الثلاثة المحذوفة.

لماذا تتساوى طاقة الخطأ وطاقة المحذوف؟ التحويل خطي، ولذلك تحويل الفرق بين الأصل والتقريب هو الفرق بين معامليهما. هذا الفرق صفر في المواضع المحفوظة ويساوي المعامل الأصلي في المواضع المحذوفة. وبهوية حفظ المربعات المثبتة أعلاه، يتساوى مجموع المربعات في المجالين لأي أربع قيم.

قبل الحذف لدينا أربع قيم وأربعة معاملات؛ لم ينخفض عدد الأعداد بمجرد التحويل. حذف بعض المعاملات قرار يفقد معلومات في هذه الأمثلة. ولا تحدد هذه الحسابات حجم ملف مضغوط بالبايت؛ يحتاج ذلك إلى تمثيل وتخزين وترميز محدد.

تغيير بداية الأزواج يغير التقريب

لنفحص أثر ترتيب الأزواج دون تغيير القيم نفسها. نعرّف إعادة ترتيب دائرية إلى اليسار بمقدار موضع واحد: [2,2,6,10] تصبح [2,6,10,2]. هذه عملية ترتيب معلنة، وليست افتراضًا عن سجل زمني مقاس.

مع الأزواج الجديدة، نحصل على a=[4√2,6√2] وd=[−2√2,4√2]؛ ومن المستوى الثاني A=10 وD=−2. تصبح المعاملات [10,−2,−2√2,4√2]. مجموع مربعاتها 100+4+8+32=144، مثل الأصل.

حذف d0 وd1 هذه المرة يعطي [4,4,6,6]. الفروق عن السجل الجديد [−2,2,4,−4]، ومجموع مربعاتها 40. الخطأ السابق كان 8؛ ازدادت هنا طاقة التفاصيل الدقيقة لأن التقسيم إلى أزواج تغير.

إذا أعدنا ترتيب التقريب السابق [2,2,8,8] إلى اليسار، نحصل على [2,8,8,2]، وليس [4,4,6,6]. إذن إجراء هذا التقريب ثم إعادة الترتيب لا يعطي في هذا المثال النتيجة نفسها لإعادة الترتيب أولًا ثم إجراء التقريب.

احفظ ترتيب العينات، وبداية الأزواج، والتطبيع، ومستوى التفاصيل المحذوفة. حفظ كل المعاملات مع القواعد يعيد القيم؛ أما كلمة تقريب وحدها فلا تصف ما بقي من المعلومات. كل أرقامنا مشتقة من أمثلة مفترضة، ولم نشغّل MATLAB أو PyWavelets أو نقس إشارة حقيقية.