تعريف المتباينات وأنواعها: الخطية والتربيعية والكسرية

الخلاصة السريعة

المتباينة عبارة رياضية تقارن مقدارين بعلامة مثل < أو > أو ≤ أو ≥. وحلها في متغير هو جميع القيم المسموح بها التي تجعل المقارنة صحيحة.^[1][2]

• العلامتان < و> تستبعدان المساواة، بينما تسمح بها ≤ و ≥.^[1]
• المتباينة الخطية في متغير واحد تقارن تعبيرًا من الدرجة الأولى بمقدار آخر؛ والتربيعية تتضمن تعبيرًا من الدرجة الثانية.^[2]
• قد تحتوي المتباينة الكسرية على متغير في المقام؛ نستبعد القيم التي تجعله صفرًا.^[3]
• الضرب أو القسمة في عدد سالب يعكس اتجاه علامة المتباينة.^[2]
• في مثالنا، x²−7x+10 ≤ 0 حلها [2,5]، بينما (x−2)/(x−5) ≤ 0 حلها [2,5).
• شكل التعبير لا يضمن عدد الحلول: x²<0 بلا حلول حقيقية، و x²≤0 حلها الصفر وحده.

كيف نقرأ العلامة ونحدد نوع المتباينة؟

للأعداد الحقيقية، تعني a < b أن a أصغر من b، وتعني a ≤ b أنه أصغر منه أو يساويه. تستعمل المعادلة علامة = لطلب المساواة، بينما تسمح المتباينة بالمقارنة المحددة بعلامتها.^[1]

نميز أمثلة بحسب التعبير: 4x−3 > 9 خطية، و x²−7x+10 ≤ 0 تربيعية، و (x−2)/(x−5) ≤ 0 كسرية فيها مقام متغير. وهذه أوصاف لطرق الحل، وليست قائمة بكل الأشكال الممكنة.

في المثال الأول نضيف 3، فنجد 4x > 12، ثم نقسم على 4 فتصبح x > 3. كل عدد أكبر من 3 يحققها؛ أما x=3 فيعطي مساواة، فلا يدخل في الحل.

ولو كتبنا −4x < −12 ثم قسمنا على −4، لعاد الحل x > 3. هذا تطبيق لقاعدة عكس العلامة عند القسمة على السالب.^[2]

المتباينة التربيعية وجدول الإشارة

لحل متباينة كثيرة حدود، تحدد أصفار التعبير حدود الفترات التي نفحص إشارتها؛ الجذور ليست وحدها الجواب.^[2]

نحل المثال x²−7x+10 ≤ 0 بالتحليل إلى (x−2)(x−5) ≤ 0. نقطتا الفصل هما 2 و 5. عند x=0 يعطي التعبير 10 موجبًا، وعند x=3 يعطي −2، وعند x=6 يعطي 4.

نريد القيم غير الموجبة، فنأخذ الفترة بين 2 و 5 ونضيف الطرفين لأن الحاصل صفر عندهما. مجموعة الحل [2,5].

لا نعمم ذلك على كل تعبير تربيعي: مربع العدد الحقيقي لا يكون سالبًا، لذلك x²<0 بلا حل، و x²≤0 لا تتحقق إلا عند x=0. أما x²≥0 فتتحقق لجميع الأعداد الحقيقية.

المتباينة الكسرية وشروط المقام

ننقل المقارنة إلى كسر واحد مقابل الصفر، ثم نفحص أصفار البسط والمقام. أصفار المقام مستبعدة دائمًا. ولا نضرب في مقام متغير قبل تحديد إشارته.^[3]

في المثال (x−2)/(x−5) ≤ 0، تعطي نقاط الفصل 2 و 5 الفترات نفسها في الجدول. عند x=0 تكون النتيجة 2/5 موجبة؛ وعند x=3 تكون −1/2؛ وعند x=6 تكون 4 موجبة.

يقبل الكسر x=2 لأن البسط صفر والمقام −3، ولكنه لا يقبل x=5 لأن المقام صفر. إذن الحل [2,5)؛ الطرف 2 مشمول والطرف 5 مستبعد. الفرق عن المثال التربيعي سببه مجال الكسر، مع أن الإشارات داخل الفترات متطابقة.

وقد تكون متباينة كسرية غير خطية أيضًا، مثل 1/x² > 0. هذه صحيحة لكل x حقيقي غير صفر؛ لذا فإن التصنيفات قد تتداخل، ولا يكفي اسم النوع لتحديد مجموعة الحل.

للقراءة المتصلة بهذا الموضوع: حل المتباينات المركبة: متى نأخذ التقاطع ومتى الاتحاد؟