جمع زاويتين بالفرجار: اختر جهة الإضافة وحدد القوس الناتج

نصف قطر واحد ثم وتر الزاوية الثانية

ارسم قوسًا من رأس الزاوية الثانية يقطع ضلعيها، وكرر نصف القطر عند رأس الأولى. افتح الفرجار بالمسافة بين علامتي القوس الأول، ثم انقلها من علامة الضلع المشترك إلى القوس الجديد. [1]

اختر التقاطع الذي يضيف الزاوية بجانب الأولى، ثم ارسم الشعاع من رأس الأولى عبره. [1]

في مثالنا تبدأ الأولى من شعاع أفقي نحو اليمين، وندور عكس عقارب الساعة حتى ضلعها الثاني؛ هذا هو الضلع المشترك. نضيف الثانية عكس عقارب الساعة أيضًا. بالنسبة إلى المستقيم الحامل للضلع المشترك، نختار تقاطعًا في الجهة المقابلة لشعاع البداية.

نستعمل زاويتين مرسومتين غير مستقيمتين، قياس كل منهما بين 0° و180° دون الطرفين، وقوسًا بنصف قطر موجب. لا نطلب إنشاء 40° أو70° من رقم وحده؛ نطلب نقل الزاوية المعطاة في الرسم. الأرقام التالية فحص مستقل لما يحدث في المثال.

مثال جمع 40° و70°

لنحسب وتر الزاوية الثانية أولًا. نضع رأسها ن=(0،0)، وعلامتَي قوس نصف قطره 4 عند أ=(4،0)، وب=(4جتا70°،4جا70°)≈(1.368081،3.758770). بالتعويض في مربع المسافة نجد أ ب²=32(1−جتا70°)≈21.055355؛ أ ب≈4.588611 سم.

من العلاقة 1−جتا70°=2جا²35° نحصل أيضًا على أ ب=8جا35°. ليس أ ب طول القوس المنحني؛ إنه المسافة المستقيمة بين العلامتين، التي نفتح بها الفرجار. فرق نصف القطر بين الرسمين سيغير النتيجة حتى لو نقلنا الوتر نفسه.

عند رأس الأولى و=(0،0)، تقع علامة شعاع البداية ج=(4،0)، وعلامة الضلع المشترك د=(4جتا40°،4جا40°)≈(3.064178،2.571150). نرسم من د قوسًا بفتحة أ ب إلى دائرة و ذات نصف القطر 4.

تقاطع الجمع هو س=(4جتا110°،4جا110°)≈(−1.368081،3.758770). مربع طول و د ومربع طول و س يساويان 16، ومربع د س يساوي 32(1−جتا70°)، أي مربع الوتر المنقول نفسه. اتجاه و س بعد شعاع البداية 110°، لأن الدوران من د إلى س هو70° في جهة الإضافة.

القيم العشرية هنا تقريبية، أما الإحداثيات بدلالة الجيب وجيب التمام والعلاقات الجبرية فهي التي نتحقق منها. عند نقل فتحة فعلية من نموذج مرسوم، لا نستبدلها بالعدد المقرب إذا كان المطلوب إنشاءً هندسيًا بالفرجار.

التقاطع الآخر يحفظ النسخ ولا يحفظ الجمع

تساوي الزاوية المنسوخة مع الثانية، ثم جمع زاويتين متجاورتين، يبرران قياس الناتج. [2]

في المثال و د و و س لهما نصف القطر نفسه، ود س يساوي أ ب. لذلك يثبت تطابق المثلثين بثلاثة أضلاع متناظرة متساوية أن قياس الزاوية بين الضلع المشترك والشعاع الجديد70°. نحتاج بعد حفظ القياس إلى اختيار جهة النسخ؛ الوتر وحده لا يحدد جهة الدوران.

التقاطع الآخر هو هـ=(4جتا(−30°)،4جا(−30°))=(2√3،−2)≈(3.464102،−2). مربع و هـ=12+4=16، ومربع د هـ يساوي الوتر نفسه لأن الفرق الزاوي بين40° و−30° هو70°. لكن الدوران من د إلى هـ هنا مع عقارب الساعة.

جهة هـ عن المستقيم و د مثل جهة شعاع البداية، بينما جهة س مقابلة لها. نراجع ذلك بالمحدد: د×ج=−16جا40°<0، ود×س=16جا70°>0، ود×هـ=−16جا70°<0. نستخدم إحداثيات مستوى بمقياس واحد كي تمثل الإشارات جانبي المستقيم.

اتجاه هـ هو−30° بالنسبة إلى البداية؛ الزاوية الصغيرة الناتجة 30°، لا110°. لأن الثانية70° أكبر من الأولى40°، لا تقع هـ داخل القطاع الأول0° إلى40°؛ النسخ في الاتجاه العكسي تجاوز شعاع البداية. لذلك نصف الخطأ بتغيير جهة النسخ، ولا نفترض أن التقاطع الآخر يقع دائمًا داخل الزاوية الأولى.

إذا تجاوز المجموع 180 درجة

الزاوية المستقيمة قياسها180°، والمنعكسة أكبر من180° وأصغر من360°. [3]

نؤلف حالة ثانية: الأولى140°، والثانية80°. عند الجمع عكس عقارب الساعة، يصبح اتجاه الشعاع النهائي220°. إذا قرأنا فقط القوس الأصغر بين شعاع البداية والنهاية، وجدنا360°−220°=140°، وهي قيمة أخرى لا تمثل المجموع.

لنصف قطر4، تقع علامة الضلع المشترك د₂=(4جتا140°،4جا140°)≈(−3.064178،2.571150)، والتقاطع الصحيح س₂=(4جتا220°،4جا220°)≈(−3.064178،−2.571150). الوتر بينهما8جا40°≈5.142301 سم؛ ينسخ الزاوية الثانية80°.

الشعاع النهائي وحده لا يختار بين قوس140° وقوس220°. نرسم قوسًا متصلًا من البداية عبر الضلع المشترك إلى النهاية، ونكتب عليه220°. عند مجموع180° تكون النهاية على الشعاع المقابل وتكون الزاوية مستقيمة؛ عندما يتجاوز المجموع180° نبقي قوس الجمع الأكبر.

نطاقنا هو0<الأولى<180° و0<الثانية<180°، ولذلك0<المجموع<360°. لا يعالج هذا التسلسل وحده قياسات دوران متعددة أو زاوية أصلية منعكسة أو طرفًا0° أو180°. عند الطرفين قد تتحد علامتا النسخ أو يقل عدد التقاطعات، فلا نعمم قاعدة اختيار التقاطعين عليهما.

قبل إبراز الشعاع النهائي، راجع نصف القطر المنقول، والوتر المستقيم، وجهة الدوران، ثم القوس الذي يحمل قياس المجموع. الرسم الأصلي بالحاسوب يشرح هذه الاختيارات؛ لا يشهد على دقة فرجار أو منقلة استُعملا فعليًا.